2014-重庆卷理-06 单-充分条件与必要条件

本题导读

本题考查复合命题真假的判定。解题关键在于分别判断简单命题 $p$ 和 $q$ 的真假，其中涉及指数函数的值域性质以及充分必要条件的集合包含关系判定。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知命题 $p$：对任意 $x\in \mathbb{R}$，总有 $2^x>0$；$q$：“$x>1$”是“$x>2$”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()

A. $p\wedge q$　　　　　　B. $\neg p\wedge \neg q$　　　　　　C. $\neg p\wedge q$　　　　　　D. $p\wedge \neg q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 $p$：考察指数函数 $y=2^x$ 的性质。指数函数的值域为 $(0,+\infty )$，由此判断其真假。
2. 分析命题 $q$：考察充分不必要条件的定义。
   • 设 $A=\{x|x>1\}$，$B=\{x|x>2\}$。
   • 若 $x>1$ 是 $x>2$ 的充分条件，则需 $A\subseteq B$；若是不必要条件，则需 $B⊈A$。
   • 比较集合的包含关系来判断命题 $q$ 的真假。
3. 判定复合命题：利用逻辑联结词的真值表规则：
   • $p\wedge q$：一假即假，全真才真。
   • $\neg p$：真假相反。
   • 根据 $p$ 和 $q$ 的真假结果，对选项逐一核对。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判断命题 $p$ 的真假 由于指数函数 $f(x)=2^x$ 在 $x\in \mathbb{R}$ 上的值域为 $(0,+\infty )$， 所以对于任意 $x\in \mathbb{R}$，$2^x>0$ 恒成立。 故命题 $p$ 是真命题。

第二步：判断命题 $q$ 的真假 考察条件“$x>1$”与“$x>2$”：

• 因为 $x>2⟹x>1$，但 $x>1/⟹x>2$（例如 $x=1.5$）。
• 所以“$x>1$”是“$x>2$”的必要不充分条件。
• 而命题 $q$ 描述其为“充分不必要条件”，这与事实相反。 故命题 $q$ 是假命题。

第三步：判定各复合命题的真假 已知 $p$ 为真，$q$ 为假，则：

• $\neg p$ 为假，$\neg q$ 为真。
• A. $p\wedge q$：真 $\wedge$ 假 = 假。
• B. $\neg p\wedge \neg q$：假 $\wedge$ 真 = 假。
• C. $\neg p\wedge q$：假 $\wedge$ 假 = 假。
• D. $p\wedge \neg q$：真 $\wedge$ 真 = 真。

综上所述，D 选项为真命题。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合命题真假与充分必要条件。

2. 核心方法：判 $p$ 真 $q$ 假，用真值表选 $p\wedge \neg q$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合包含关系与充分必要条件。

2. 结论推广: “$x>1$”是“$x>2$”的必要不充分条件。

3. 方法推广: 复合命题先判简单命题真假再套真值表。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

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