2014-重庆卷理-07 单-直观图的还原

本题导读

本题考查根据三视图还原空间几何体并计算其表面积。解题关键在于通过三视图确定几何体的形状为一个直三棱柱被截去一部分后形成的五面体。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A. 54　　　　　　　B. 60　　　　　　　C. 66　　　　　　　D. 72

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：
   • 俯视图为直角三角形（两条直角边分别为3和4），说明底面是一个直角三角形。
   • 正视图是一个直角梯形（高为4，两底边长分别为5和2），说明几何体是一个直三棱柱的一部分。
   • 左视图是一个长方形（宽为3，高为5）且内有虚线，验证了其为一个被截断的直三棱柱结构。
2. 确定各个面的形状与尺寸：
   • 底面：直角三角形，直角边为 3 和 4。
   • 顶面：倾斜的三角形。
   • 侧面1（背面）：矩形，长为 5，宽为 3。
   • 侧面2（左侧面）：直角梯形，底边分别为 5 和 2，高为 4。
   • 侧面3（右前侧面）：直角梯形，高为斜边（根据勾股定理 $\sqrt{3^2+4^2}=5$），底边分别为 5 和 2。
3. 计算表面积：将五个面的面积分别计算并求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原直观图参数 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角三角形 $ABC$（$\angle ABC=90^{\circ },AB=4,BC=3$）的直三棱柱被截去一部分所得。 三条侧棱分别垂直于底面，长度分别为：左后棱 $h_1=5$，左前棱 $h_2=5$，右棱 $h_3=2$。

第二步：计算各面面积

1. 底面面积 $S_1$：$S_{底}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$。
2. 后侧面面积 $S_2$（矩形）：$S_{后}=3\times 5=15$。
3. 左侧面面积 $S_3$（直角梯形）：$S_{左}=\frac{1}{2}\times (2+5)\times 4=14$。
4. 前侧面面积 $S_4$（直角梯形）：其底边在俯视图斜边上，长度为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，高度分别为 2 和 5。 $S_{前}=\frac{1}{2}\times (2+5)\times 5=17.5$。
5. 顶面面积 $S_5$（倾斜三角形）： 该三角形的三边长分别为：
   • 后边（水平）：$3$。
   • 左边（斜边）：$\sqrt{4^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$。
   • 前边（斜边）：由正视图和左视图投影可得。 实际上，观察几何结构，顶面是一个直角三角形（其在底面的投影为直角三角形，且一侧面垂直于底面）。其面积为：$S_{顶}=\frac{1}{2}\times 3\times 5=7.5$。

第三步：求总和 $S_{全}=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=6+15+14+17.5+7.5=60$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体与表面积计算。

2. 核心方法：还原为直三棱柱截去一角，分面计算面积求和。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图还原与表面积公式。

2. 结论推广: 表面积分底、侧面、顶面逐面求和。

3. 方法推广: 三视图题先还原直观图再分面计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-05 单-空间几何体的三视图与直观图
• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原