2013-陕西卷理-12 填-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原空间几何体。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 某几何体的三视图如图所示（正视图与侧视图均为直角三角形，俯视图为半径为 1 的半圆），则其体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：
   • 俯视图是一个半圆，说明底面是半圆。
   • 正视图和侧视图都是三角形，说明几何体具有尖顶特征。
   • 综合判定：该几何体是一个圆锥沿轴截面切开后的半个圆锥。
2. 提取尺寸：
   • 从俯视图可知底面半圆半径 $r=1$。
   • 从正视图（或侧视图）的高可知圆锥的高 $h=2$。
3. 计算体积：
   • 应用圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
   • 最终体积为完整圆锥体积的一半。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何体形状 由三视图可知，该几何体底面为半径为 $1$ 的半圆，高为 $2$。它是由一个底面半径为 $1$，高为 $2$ 的完整圆锥被过轴的平面平分而得的。

第二步：计算体积 完整圆锥的体积为： $V_{\text{全}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 2=\frac{2\pi }{3}$

该几何体的体积为完整圆锥的一半： $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{全}}=\frac{1}{2}\times \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$

故填入答案为：$\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的识别，特别是“曲面”在视图中的特征（圆或圆弧）。

核心方法：“特征还原法”。俯视图中有圆弧，通常联想到球、圆柱或圆锥。结合主视图是三角形，可以锁定为圆锥系列。

避坑指南：计算体积时容易忘记乘以 $\frac{1}{2}$。三视图题目中，一定要观察俯视图是否为完整的图形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥的侧面积计算、球体的三视图。

结论推广：若俯视图为 $1/4$ 圆，则体积为同底高圆锥的 $1/4$。

方法推广：处理三视图题时，先看俯视图定底面，再看主、侧视图定高和侧面性质（是垂直还是倾斜）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图