2013-重庆卷理-05 单-空间几何体的三视图与直观图

本题导读

本题考查空间几何体的三视图与直观图，以及空间几何体的表面积与体积。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 某几何体的三视图如题(5)图所示，则该几何体的体积为()

A. $\frac{560}{3}$　　　　　　B. $\frac{580}{3}$　　　　　　C. $200$　　　　　　D. $240$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析三视图：
   • 正（主）视图：矩形，宽为 4，长为 10。
   • 俯视图：矩形，宽为 $3+2+3=8$，长为 10。内部有两条平行线。
   • 侧（左）视图：等腰梯形，上底为 2，下底为 8，高为 4。
2. 还原几何体：
   • 侧视图是一个非矩形的封闭多边形，说明该多边形是柱体的底面。
   • 正视图和俯视图均为矩形，说明该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱（横放）。
3. 确定计算参数：
   • 底面（梯形）面积 $S$：上底 $a=2$，下底 $b=8$，高 $h=4$。
   • 柱体的高（长度）$L$：由正视图或俯视图可知 $L=10$。
4. 计算体积：$V=S\cdot L$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体形状 由三视图可知，该几何体是一个直四棱柱（梯形柱）。其底面是侧视图所示的等腰梯形，侧棱垂直于该梯形。

第二步：计算底面积 $S$ 底面梯形的参数为：

• 上底 = 2（侧视图顶部宽度）
• 下底 = $3+2+3=8$（侧视图底部宽度，对应俯视图总宽度）
• 高 = 4（侧视图的高度，对应正视图的高度） $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times (\text{上底}+\text{下底})\times \text{高}=\frac{1}{2}\times (2+8)\times 4=20$

第三步：计算体积 $V$ 几何体的高（长度） $L=10$（对应正视图和俯视图的水平长度）。 $V=S_{\text{底}}\times L=20\times 10=200$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的投影规律（正俯长对正、正侧高平齐、俯侧宽相等）；柱体体积计算。

核心方法：“寻找特征面”。在三视图中，若有两个视图是矩形，第三个视图是多边形，那么该几何体通常是柱体，且那个多边形就是底面。

避坑指南：不要习惯性地认为底面一定在俯视图。本题中的“底面”实际上在侧视图方向，这是一个常见的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：锥体体积公式、组合体的表面积。

结论推广：若该几何体是台体（如四个侧面都是梯形），则体积需使用台体公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$。

方法推广：在处理复杂三视图时，可以先根据长、宽、高画出一个长方体，再在长方体内部进行切割还原。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图