2014-重庆卷理-13 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆相交的几何性质。通过“等边三角形”这一特殊条件，确定圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式建立关于参数 $a$ 的方程求解。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知直线 $ax+y-2=0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $(x-1{)}^2+(y-a{)}^2=4$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $△ABC$ 为等边三角形，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析圆的属性：由圆的方程 $(x-1{)}^2+(y-a{)}^2=4$ 可知，圆心 $C$ 的坐标为 $(1,a)$，半径 $R=2$。
2. 分析三角形特征：因为 $A,B$ 是圆上的点，所以 $|CA|=|CB|=R=2$。题目给定 $△ABC$ 是等边三角形，说明弦长 $|AB|=R=2$。
3. 确定弦心距：在等边三角形 $ABC$ 中，圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 是边长为 2 的等边三角形的高。利用勾股定理或三角函数可算出 $d=\sqrt{R^2-(\frac{|AB|}{2}{)}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
4. 建立方程：利用点到直线的距离公式，表示圆心 $C(1,a)$ 到直线 $ax+y-2=0$ 的距离，使其等于 $\sqrt{3}$，解出 $a$。

✅【答案】

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$4\pm \sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆的基本量及弦心距 圆 $(x-1{)}^2+(y-a{)}^2=4$ 的半径 $R=2$，圆心 $C(1,a)$。 因为 $△ABC$ 为等边三角形且 $CA,CB$ 为半径， 所以边长 $|AB|=|CA|=|CB|=2$。 圆心 $C$ 到直线 $ax+y-2=0$ 的距离 $d$ 满足： $d^2+(\frac{|AB|}{2}{)}^2=R^2⟹d^2+1^2=2^2$ $d=\sqrt{3}$

第二步：代入点到直线的距离公式 圆心 $C(1,a)$ 到直线 $ax+y-2=0$ 的距离为： $d=\frac{|a\times 1+a-2|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{|2a-2|}{\sqrt{a^2+1}}$ 依题意得： $\frac{|2a-2|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{3}$

第三步：平方化简并求解 两边平方： $\frac{(2a-2{)}^2}{a^2+1}=3$ $4a^2-8a+4=3a^2+3$ $a^2-8a+1=0$ 利用求根公式： $a=\frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\times 1\times 1}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{60}}{2}=\frac{8\pm 2\sqrt{15}}{2}$ $a=4\pm \sqrt{15}$

故答案为 $4\pm \sqrt{15}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相交及弦心距。

2. 核心方法：由等边三角形得弦心距 $\sqrt{3}$，用点到直线距离公式解 $a$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 弦心距、半弦长与半径的勾股关系。

2. 结论推广: $d^2+(\frac{|AB|}{2}{)}^2=R^2$。

3. 方法推广: 已知弦与圆心构成三角形求距离再建方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆
• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆
• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆