2014-陕西卷文-07 单-指数函数性质

本题导读

先看哪些函数满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$，再在其中找增函数。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 下列函数中，满足“$f(x+y)=f(x)f(y)$”的单调递增函数是()

A. $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$　　　B. $f(x)=x^3$　　　C. $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$　　　D. $f(x)=3^x$

🔍【思路分析】

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指数运算律 $a^{x+y}=a^x{a}^y$ 提示只有指数型函数满足该等式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

(A) $(x+y{)}^{\frac{1}{2}}$ 与 $x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}$ 一般不相等，不满足运算律； (B) $(x+y{)}^3$ 与 $x^3{y}^3$ 一般不相等，不满足运算律； (C) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+y}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x{\left(\frac{1}{2}\right)}^y$，满足运算律，但底数 $0<\frac{1}{2}<1$，是减函数； (D) $3^{x+y}=3^x\cdot 3^y$，满足运算律，且底数 $3>1$，是增函数。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数运算律与指数函数的单调性

2. 核心方法：先验证运算律缩小范围，再比单调

3. 避坑指南：满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的只有两个指数函数 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 与 $3^x$，再按「单调递增」留下后者；只盯单调性不验证运算律会误选幂函数型选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数运算律与指数函数的单调性。

2. 结论推广: $f(x)=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$）满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$；$a>1$ 时递增，$0<a<1$ 时递减。

3. 方法推广: 函数型选择题先用运算性质缩小范围，再用单调性定出唯一选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-07 单-抽象函数
• 2014-湖南卷文-04 单-函数性质