2014-陕西卷文-17 解-三视图与截面

本题导读

(1) 由三视图读出 $AD\perp$ 平面 $BDC$ 及各边长，套锥体体积公式；(2) 用「平面与各面的交线」逐条写出平行关系，先证平行四边形再证邻边垂直。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 四面体 $ABCD$ 及其三视图如图所示，过棱 $AB$ 的中点 $E$ 作平行于 $AD$，$BC$ 的平面分别交四面体的棱 $BD$，$DC$，$CA$ 于点 $F$，$G$，$H$.

(1) 求四面体 $ABCD$ 的体积；

(2) 证明：四边形 $EFGH$ 是矩形.

🔍【思路分析】

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(1) $AD\perp$ 平面 $BDC$，$BD=DC=2$，$AD=1$；(2) 交线法证 $FG\parallel BC$，$EF\parallel AD$，再由 $AD\perp BC$ 得邻边垂直。

✅【答案】

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(1) $V=\frac{2}{3}$；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由三视图可知，该四面体中 $BD\perp DC$，$BD\perp AD$，$AD\perp DC$，且 $BD=DC=2$，$AD=1$，所以 $AD\perp$ 平面 $BDC$。 于是 $S_{△BDC}=\frac{1}{2}\times BD\times DC=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$， 故 $V=\frac{1}{3}\times S_{△BDC}\times AD=\frac{1}{3}\times 2\times 1=\frac{2}{3}$。 (2) 因为 $BC\parallel$ 平面 $EFGH$，且平面 $EFGH\cap$ 平面 $BDC=FG$，平面 $EFGH\cap$ 平面 $ABC=EH$， 由线面平行的性质定理得 $FG\parallel BC$，$EH\parallel BC$，故 $FG\parallel EH$。 同理，由 $AD\parallel$ 平面 $EFGH$，且平面 $EFGH\cap$ 平面 $ABD=EF$，平面 $EFGH\cap$ 平面 $ACD=HG$，得 $EF\parallel AD$，$HG\parallel AD$，故 $EF\parallel HG$。 所以四边形 $EFGH$ 是平行四边形。 又 $AD\perp$ 平面 $BDC$，$BC\subset$ 平面 $BDC$，所以 $AD\perp BC$； 而 $EF\parallel AD$，$FG\parallel BC$，故 $EF\perp FG$。 因此四边形 $EFGH$ 是矩形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体与截面四边形的形状

2. 核心方法：由三视图读出垂直关系与边长，再用线面平行的性质定理

3. 避坑指南：三视图给出 $AD\perp$ 平面 $BDC$ 及 $BD=DC=2$、$AD=1$，体积 $=\frac{1}{3}\times S_{△BDC}\times AD=\frac{2}{3}$；证矩形要分两步——先证平行四边形，再证邻边垂直，跳步直接写「是矩形」会丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图还原空间几何体、线面平行的性质定理与棱锥体积。

2. 结论推广: 线面平行的性质定理：直线平行于平面，则它平行于过该直线的平面与该平面的交线。

3. 方法推广: 几何体体积问题先由三视图还原垂直关系与度量；截面形状问题用「面面交线」逐条找平行，再补垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-17 解-空间几何体的还原
• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高