2014-陕西卷文-19 解-频率估计概率

本题导读

(1) 赔付大于 $2800$ 元即 $3000$ 元与 $4000$ 元两种互斥情形；(2) 把两个「占比」各自还原为频数，再对新司机总体求频率。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额（元）	0	1000	2000	3000	4000
车辆数（辆）	500	130	100	150	120

(1) 若每辆车的投保金额均为 $2800$ 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占 $10\%$，在赔付金额为 $4000$ 元的样本车辆中，车主是新司机的占 $20\%$，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 $4000$ 元的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $\frac{150}{1000}+\frac{120}{1000}$；(2) 新司机共 $100$ 辆，其中获赔 $4000$ 元的 $24$ 辆。

✅【答案】

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(1) $0.27$；(2) $0.24$

✍【详细解析】

Abstract

样本容量为 $500+130+100+150+120=1000$。 (1) 设 $A$ 表示事件「赔付金额为 $3000$ 元」，$B$ 表示事件「赔付金额为 $4000$ 元」，以频率估计概率： $P(A)=\frac{150}{1000}=0.15$，$P(B)=\frac{120}{1000}=0.12$。 投保金额为 $2800$ 元，赔付金额大于投保金额对应 $3000$ 元与 $4000$ 元两种情形，且 $A$ 与 $B$ 互斥， 故所求概率为 $P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27$。 (2) 样本车辆中车主为新司机的有 $1000\times 10\%=100$ 辆；赔付金额为 $4000$ 元的车辆中车主为新司机的有 $120\times 20\%=24$ 辆。 所以样本中新司机获赔 $4000$ 元的频率为 $\frac{24}{100}=0.24$，由频率估计概率得所求概率为 $0.24$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用样本频率估计总体概率

2. 核心方法：先还原样本总量，再在正确的分母上求频率

3. 避坑指南：(1) 样本总量 $500+130+100+150+120=1000$；(2) 「新司机占 $10\%$」的基数是全体 $1000$ 辆，「赔付 $4000$ 元中新司机占 $20\%$」的基数是 $120$ 辆，两个 $20\%$、$10\%$ 的分母不同，最后必须回到 $100$ 辆新司机上求频率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 随机抽样与用样本的频率分布估计总体分布。

2. 结论推广: 频率 $=\frac{\text{频数}}{\text{样本容量}}$；互斥事件和的概率 $P(A+B)=P(A)+P(B)$。

3. 方法推广: 分层条件给出的「占 $10\%$」「占 $20\%$」基数不同，先各自还原为频数，再在正确的分母上求频率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-20 解-概率统计
• 2014-山东卷文-16 解-分层抽样与概率