2014-福建卷文-20 解-概率统计

本题导读

第(1)问按人口比例求加权平均人均 GDP，与 4085 美元线比较。第(2)问先识别“中等偏上”的行政区（人均 GDP $⩾4085$），再用列举法从 5 个区抽 2 个，数出符合条件的事件数。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 根据世行 2013 年新标准（人均 GDP 低于 1035 美元为低收入；1035–4085 美元为中等偏下；4085–12616 美元为中等偏上；不低于 12616 美元为高收入），某城市 5 个行政区的人口占比与人均 GDP 如下：A（25%，8000）、B（30%，4000）、C（15%，6000）、D（10%，3000）、E（20%，10000）.

(1) 判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；

(2) 从 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个区人均 GDP 都达到中等偏上标准的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 加权平均：$0.25\times 8000+0.30\times 4000+0.15\times 6000+0.10\times 3000+0.20\times 10000$。(2) 达标区为 A、C、E（GDP 均 $⩾4085$）；基本事件为 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个，可用列举法数出“两个都达标”的个数。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 判断；(2) 概率

✍【详细解析】

详细解析

(1) 该城市人均 GDP $=0.25\times 8000+0.30\times 4000+0.15\times 6000+0.10\times 3000+0.20\times 10000=2000+1200+900+300+2000=6400$（美元）。因 $4085⩽6400<12616$，达到中等偏上收入国家标准。 (2) 人均 GDP 达到中等偏上标准的区为 A、C、E。从 5 个区中随机抽取 2 个，共有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个等可能基本事件：$AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE$。其中两个区都达标的是 $AC,CE,AE$，共 3 个，故所求概率 $P=\frac{3}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：加权平均数与古典概型
2. 核心方法：按比例加权 + 列举法求概率
3. 避坑指南：加权平均用的是“人口比例”而非“区数平均”；区间归属看端点：6400 落在 $[4085,12616)$，且 4000（B 区）属于“中等偏下”，别把 B 区错划入达标集合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 以世行收入分类标准为背景，把统计（加权平均）与概率（古典概型）串成一题，是福建卷文数的特色组合题。
2. 结论推广: 若抽 3 个区，则总事件数 ${\mathrm{C}}_5^3=10$，“至少两个达标”等事件可类似列举。
3. 方法推广: 古典概型解题两步走：确认等可能、数清分子分母；样本容量小（${\mathrm{C}}_5^2=10$）时列举是最可靠的方式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-18 解-分布列
• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计