2014-陕西卷文-20 解-椭圆与圆弦长

本题导读

(1) 由「过点」与「离心率」联立解 $a,b,c$；(2) 圆的弦长用几何法、椭圆的弦长用韦达定理，比值列方程。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $\left(0,\sqrt{3}\right)$，离心率为 $\frac{1}{2}$，左右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若直线 $l:y=-\frac{1}{2}x+m$ 与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，与以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆交于 $C$，$D$ 两点，且满足 $\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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(1) $b=\sqrt{3}$ 且 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；(2) 圆弦长 $2\sqrt{1-d^2}$，椭圆弦长用韦达定理。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；(2) $y=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意得 $\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3},\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2},\\ a^2=b^2+c^2,\end{array}$ 解得 $a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=1$。 所以椭圆的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。 (2) 以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆的方程为 $x^2+y^2=1$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，由 $d<1$ 得 $|m|<\frac{\sqrt{5}}{2}$，且 $|CD|=2\sqrt{1-d^2}$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立 $\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+m,\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\end{array}$ 整理得 $x^2-mx+m^2-3=0$。 由求根公式可得 $x_1+x_2=m$，$x_1{x}_2=m^2-3$，于是 $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\cdot |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{12-3m^2}$。 由 $\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$，得 $\frac{\sqrt{5}\sqrt{12-3m^2}}{4\sqrt{1-\frac{4m^2}{5}}}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$， 两边平方整理得 $60-15m^2=75-60m^2$，解得 $m^2=\frac{1}{3}$。 此时 $|m|=\frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{5}}{2}$，符合题意，所以 $m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。 故直线 $l$ 的方程为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆（圆）相交的弦长

2. 核心方法：几何法求圆的弦长，韦达定理求椭圆弦长

3. 避坑指南：以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆是 $x^2+y^2=c^2=1$，其弦长用「圆心到直线距离 $d$」几何求出；椭圆弦长用韦达定理；比值条件给出关于 $m$ 的方程，解出后要回头检验 $d<1$ 与 $|m|<2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的标准方程与离心率、直线与圆锥曲线相交的弦长。

2. 结论推广: 圆 $x^2+y^2=r^2$ 中弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$；椭圆中 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$。

3. 方法推广: 同一条直线与两条曲线相交的弦长问题：圆用几何法、椭圆用韦达定理，各自选用最短路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-20 解-椭圆定义与性质
• 2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率