2014-陕西卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的交集运算。解题关键在于准确解出二次不等式表示的集合 $N$，并结合数轴求出两集合的公共部分。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 已知集合 $M=\{x|x\ge 0,x\in R\}$，$N=\{x|x^2<1,x\in R\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $[0,1]$　　　　B. $[0,1)$　　　　C. $(0,1]$　　　　D. $(0,1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：集合 $M$ 表示所有大于或等于 $0$ 的实数，即区间 $[0,+\infty )$。
2. 化简集合 $N$：解不等式 $x^2<1$。由平方根性质可得 $-1<x<1$，即区间 $(-1,1)$。
3. 求交集：根据交集定义 $M\cap N=\{x|x\in M$ 且 $x\in N\}$，在数轴上寻找重叠部分。注意区分端点的开闭。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知： 集合 $M=[0,+\infty )$； 对于集合 $N$，由 $x^2<1$ 解得 $-1<x<1$， 所以 $N=(-1,1)$。

在数轴上表示两个集合：

• 集合 $M$ 包含 $0$ 及其右侧所有点。
• 集合 $N$ 是从 $-1$ 到 $1$ 之间的区域（不含端点）。

两集合的公共部分为： $0\le x<1$ 用区间表示为 $[0,1)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的含义以及一元二次不等式的解法。

2. 核心方法：数轴法。在处理区间运算时，数轴是最直观、最不容易出错的工具。

3. 避坑指南：注意区间端点的开闭状态。$x\ge 0$ 对应闭端点“$[$”，而 $x<1$ 对应开端点“$)$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 补集运算、空集的定义、常用数集的符号（如 $\mathbb{R},\mathbb{Z},\mathbb{N}$）。

2. 结论推广: 若要求并集 $M\cup N$，则结果为 $(-1,+\infty )$。

3. 方法推广: 涉及 $|x|<a$ 型不等式与 $x^2<a^2$ 的处理逻辑一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集