2014-陕西卷理-09 单-样本的数字特征

本题导读

本题考查数据样本在进行平移变换（$y_i=x_i+a$）后，其均值和方差的变化规律。这是统计学中非常基础且重要的线性变换性质。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 设样本数据 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ 的均值和方差分别为 $1$ 和 $4$.若 $y_i=x_i+a$（$a$ 为非零常数，$i=1,2,\dots ,10$），则 $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ 的均值和方差分别为()

A. $1+a,4$　　　　B. $1+a,4+a$　　　　C. $1,4$　　　　D. $1,4+a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解数据变换：$y_i=x_i+a$ 表示将原数据序列整体向右（或向左）平移了 $a$ 个单位。
2. 运用性质：
   • 均值性质：若数据整体加上 $a$，则均值也随之加上 $a$。
   • 方差性质：方差反映的是数据的离散程度（波动大小）。数据整体平移并不改变数据点之间的相对距离，因此方差保持不变。
3. 公式化表示：若 $E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$，对于 $Y=aX+b$（本题中相当于 $a=1,b=a$），则有：
   • $E(Y)=aE(X)+b$
   • $D(Y)=a^{2}D(X)$

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

已知原样本 $x$ 的均值 $\bar{x}=1$，方差 $s_x^2=4$。

第一步：计算新均值 $\bar{y}$ 根据均值的线性性质： $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i+a)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{n}(na)=\bar{x}+a$ 代入数据得： $\bar{y}=1+a$

第二步：计算新方差 $s_y^2$ 根据方差的定义及性质： $s_y^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n[(x_i+a)-(\bar{x}+a){]}^2$ $s_y^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=s_x^2$ 代入数据得： $s_y^2=4$

综上所述，$y$ 的均值为 $1+a$，方差为 $4$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数据平移变换对数字特征的影响。即“均值同变，方差不变”。

2. 核心方法：熟记线性变换公式 $E(aX+b)=aE(X)+b$ 以及 $D(aX+b)=a^{2}D(X)$。

3. 避坑指南：容易错选 B 或 D，误认为方差也会随之增加。请记住：方差只与数据的“间距”有关，与数据的“位置”无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正态分布的平移、线性回归中残差的性质。

2. 结论推广: 若数据变为 $y_i=k{x}_i+a$，则均值为 $k\bar{x}+a$，方差变为 $k^2{s}_x^2$，标准差变为 $|k|s_x$。

3. 方法推广: 在处理大规模原始数据时，常通过减去一个常数（均值化）来简化计算，这就是利用了平移不改变方差的原理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-09 多-数字特征
• 2013-湖南卷文-15 填-特征数列
• 2014-广东卷文-17 解-统计特征数