2012-山东卷文-04 单-样本的数字特征

本题导读

本题考查样本的数字特征，以及数据平移对统计量的影响。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 在某次测量中得到的 $A$ 样本数据如下：$82$，$84$，$84$，$86$，$86$，$86$，$88$，$88$，$88$，$88$. 若 $B$ 样本数据恰好是 $A$ 样本数据每个都加 $2$ 后所得数据，则 $A$，$B$ 两样本的下列数字特征对应相同的是()

A. 众数　　　　B. 平均数　　　　C. 中位数　　　　D. 标准差

🔍【思路分析】

破题导航

每个数据都加 $2$ 只改变中心位置，不改变离散程度，标准差相同。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $A$ 的数据为 $x_1,x_2,\cdots ,x_{10}$，则 $B$ 的数据为 $x_i+2$。

众数、平均数、中位数都随每个数据加 $2$ 而加 $2$，故前三个统计量都不相同。

标准差刻画数据的离散程度：$s_B^2=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{\left[(x_i+2)-(\bar{x}+2)\right]}^2=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}{)}^2=s_A^2$，故标准差相同。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：样本的数字特征；数据整体平移对平均数、中位数、众数、方差（标准差）的影响

核心方法：写出平移后各统计量的表达式，比较哪一项与位置无关

避坑指南：标准差（方差）只与数据间的”差距”有关，整体加减不改变；但众数、平均数、中位数都会整体移动 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数字特征变化规律题，与 2013 年山东卷文第 10 题、2013 年湖北卷文第 12 题同族。

结论推广：数据 $x_i\to a{x}_i+b$ 时：$\bar{x}\to a\bar{x}+b$，$s^2\to a^2{s}^2$；$a=1$ 时方差与标准差不变。

方法推广：统计量问题的通用思路：先写出统计量定义式，再对数据作整体变换看表达式的变化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-12 填-平均数与标准差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2014-陕西卷理-09 单-样本的数字特征