2014-陕西卷理-11 填-指数幂运算

本题导读

本题考查指数方程与对数方程的基础计算，重点在于对底数一致性的处理以及对数定义的直接应用。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 已知 $4^a=2,\lg x=a$，则 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解参数 $a$：从指数方程 $4^a=2$ 入手。将底数统一为 $2$，利用幂的乘方性质求出 $a$ 的值。
2. 求解未知数 $x$：将求得的 $a$ 代入对数方程 $\lg x=a$。利用对数的定义（常用对数底数为 $10$）进行指对互化，求出 $x$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $a$ 的值 由已知条件 $4^a=2$， 可化为：$(2^2{)}^a=2^1$ 即：$2^{2a}=2^1$ 根据底数相同指数相等原则：$2a=1$ 解得：$a=\frac{1}{2}$

第二步：求 $x$ 的值 将 $a=\frac{1}{2}$ 代入方程 $\lg x=a$ 中，得： $\lg x=\frac{1}{2}$ 由于 $\lg x$ 是以 $10$ 为底的常用对数，根据对数与指数的互化公式 ${\log }_{b}Y=X⟺b^X=Y$： $x=10^{\frac{1}{2}}$ 即： $x=\sqrt{10}$

【答案】 $\sqrt{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数幂的运算性质（底数统一）和对数的定义。

2. 核心方法：转化思想。将指数方程化为指数相同的形式，将对数式化为指数式。

3. 避坑指南：注意 $\lg x$ 默认底数为 $10$，不要误认为是 $e$（那是 $\ln x$）或其它数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分数指数幂与根式的转换（$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$）。

2. 结论推广: 若 $a^x=N$，则 $x={\log }_{a}N$。

3. 方法推广: 面对 $a^{f(x)}=a^{g(x)}$，直接令 $f(x)=g(x)$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-01 单-复数幂运算
• 2026-上海卷-13 单-分数指数幂
• 2014-上海卷文-11 填-分数指数幂