2015-湖北卷文-01 单-复数幂运算

本题导读

把 $i^{607}$ 的指数按周期 4 取余，$607=4\times 151+3$，立得 $i^{607}=i^3=-i$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） $i$ 为虚数单位，$i^{607}=$ ()

A. $i$　　　　　　　B. $-i$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

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把 $i^{607}$ 的指数按周期 4 取余，$607=4\times 151+3$，立得 $i^{607}=i^3=-i$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$i^{607}=i^{4\times 151+3}=(i^4{)}^{151}\cdot i^3=i^3=i^2\cdot i=-i$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：虚数单位 $i$ 的幂的周期性（$i^{4k}=1$，$i^{4k+3}=-i$）

核心方法：指数对周期 4 取余，把高次幂化为 $i$、$i^2$、$i^3$ 之一

避坑指南：$607÷4$ 的余数是 3 而不是 1，粗心取余会把 $-i$ 误作 $i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$i$ 的高次幂求值是复数板块的传统开卷第一题，全国各卷几乎年年出现。

结论推广：推广到 $(1\pm i{)}^n$：先化为 $2^{n/2}$ 乘 $i$ 的幂，再用周期化简；对 $\omega$（三次单位根）有周期 3。

方法推广：见到复数高次幂，第一反应是”模周期、取余数”，不要硬乘。

🔗【关联脉络】

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