2015-上海卷文-11 填-二项式定理

本题导读

考查二项展开式的通项。把通项中 $x$ 的指数写成 $k$ 的一次式，令其为零即可定出常数项。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 在 ${\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ 的二项展开式中，常数项等于 $\underline{}$.（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k$。
2. 合并 $x$ 的指数：$(6-k)-2k=6-3k$。
3. 令 $6-3k=0$ 求 $k$，回代求系数。

✅【答案】

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$240$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k{2}^{6-k}{x}^{6-k-2k}={\mathrm{C}}_6^k{2}^{6-k}{x}^{6-3k}.$

令 $x$ 的指数为零：$6-3k=0$，得 $k=2$。

于是常数项

$T_3={\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^4=15\times 16=240.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的通项公式；常数项的求法。

2. 核心方法：先写通项、再令指数为零，是被动求指定项的唯一确定路径。

3. 避坑指南：$2^{6-k}$ 这个系数容易漏乘；$k$ 的取值范围是 $0⩽k⩽6$，解出 $k=2$ 在范围内才有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：二项式定理是计数原理板块的必考点，上海卷常在常数项、有理项、系数最大项之间轮换。

2. 结论推广: 若求”含 $x^3$ 的项”，令 $6-3k=3$ 即 $k=1$，得系数 ${\mathrm{C}}_6^1{2}^5=192$；若求”系数最大的项”，则比较相邻两项系数之比。

3. 方法推广: “写通项 → 令指数取值 → 回代求系数”，三步可解一切”求指定项”问题。

🔗【关联脉络】

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