2012-上海卷文-08 填-二项展开式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式的通项与常数项。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 在 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的二项展开式中，常数项等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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通项 $(-1{)}^r{\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-2r}$，令 $6-2r=0$ 得 $r=3$，常数项 $-20$。

✅【答案】

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$-20$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-2r}$（$r=0,1,\cdots ,6$）。

令 $6-2r=0$ 得 $r=3$。

常数项 $T_4=(-1{)}^3{\mathrm{C}}_6^3=-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式；常数项的确定

核心方法：写通项 → 令 $x$ 的指数为 $0$ → 代入组合数与符号

避坑指南：${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 的符号 $(-1{)}^r$ 别丢，$r=3$ 为奇数故常数项为负；${\mathrm{C}}_6^3=20$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式常数项入口题，与 2015 年上海卷文第 11 题、2013 年上海卷文第 7 题同族。

结论推广：$(x+a{)}^n$ 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{x}^{n-r}{a}^r$；求常数项即令 $x$ 的指数为 $0$。

方法推广：二项式问题先写通项再定指标，符号与组合数分开核对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-11 填-二项式定理
• 2013-上海卷文-07 填-二项式系数
• 2014-新课标I卷文-12 单-三次函数零点