2015-上海卷文-15 单-充要条件

本题导读

考查充分必要条件的判断，兼查复数的实部虚部概念。举一个反例即可否定”必要性”。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 设 $z_1$，$z_2\in \mathbf{C}$，则”$z_1$，$z_2$ 均为实数”是”$z_1-z_2$ 是实数”的 ()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

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1. 先看”充分”：若 $z_1,z_2$ 都是实数，差当然是实数 —— 成立。
2. 再看”必要”：若差是实数，能否推出两者都是实数？举反例。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $z_1$，$z_2$ 均为实数，则 $z_1-z_2$ 仍为实数。充分性成立。

必要性：取 $z_1=1+\mathrm{i}$，$z_2=\mathrm{i}$，则 $z_1-z_2=1$ 是实数，但 $z_1$，$z_2$ 都不是实数。

故必要性不成立。

所以”$z_1$，$z_2$ 均为实数”是”$z_1-z_2$ 是实数”的充分非必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件、必要条件的判断；复数的实部与虚部。

2. 核心方法：判断”必要性”时用反例法最快：只要找到一对差为实数、但自身非实数的复数即可。

3. 避坑指南：关键观察是复数的虚部可以”相互抵消”——两个虚部相同的非实复数相减即得实数。很多同学只验证充分性就选了 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：充要条件判断是上海卷选择题的常规起点，常借其他知识板块（复数、三角、数列）作载体。

2. 结论推广: 若把条件改为”$z_1+{\bar{z}}_2$ 是实数”，则等价于 $z_1$ 与 $z_2$ 的虚部互为相反数，充分性与必要性均不成立。

3. 方法推广: “验证充分 + 反例否定必要”是判断充要条件的两步固定流程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-15 单-复数概念
• 2016-上海卷文-15