2015-上海卷理-13 填-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦函数值的波动特征。题目给出的绝对值之和实际上描述了函数在指定区间内的“总波动幅度”。要使点数 m 最少，必须让每一次相邻点之间的函数值差额达到最大（即从波峰到波谷，或反之）。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin x$.若存在 $x_1,x_2,\dots ,x_m$ 满足 $0\le x_1<x_2<\cdots <x_m\le 6\pi$，且 $|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-f(x_3)|+\cdots +|f(x_{m-1})-f(x_m)|=12(m\ge 2,m\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 则 $m$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解代数式的几何意义： 该绝对值之和表示函数 $f(x)$ 在点 $x_1,x_2,\dots ,x_m$ 处的纵坐标改变量的累加。 由于 $f(x)=\sin x$，其值域为 $[-1,1]$，任意两点间的纵坐标差值的绝对值 $|f(x_i)-f(x_{i+1})|\le 2$。
2. 分析波动的最大化： 要在固定的区间 $[0,6\pi ]$ 内累加到 $12$，且希望点数 $m$ 尽可能少，就必须让每一项 $|f(x_i)-f(x_{i+1})|$ 尽可能接近其最大可能值 $2$。 3. 考察区间内的极值点： 在 $[0,6\pi ]$（即三个周期）内，正弦函数的波峰（值为 1）和波谷（值为 -1）依次交替出现。
   • 波峰点：$\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{9\pi }{2}$
   • 波谷点：$\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{11\pi }{2}$
3. 构造最优序列： 从起点 $0$ 或极值点开始，交替选取每一个波峰和波谷，计算累加和，直到达到 $12$。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定单项最大贡献 因为 $f(x)=\sin x\in [-1,1]$，所以 $|f(x_i)-f(x_{i+1})|\le 1-(-1)=2$。 要使 $m$ 最小，应尽量使每一项都等于 $2$。

第二步：观察区间 $[0,6\pi ]$ 内的波动情况 正弦函数在三个周期内完整的波动路径如下：

• $x=0,f(x)=0$
• $x=\frac{\pi }{2},f(x)=1$ （差值 $1$）
• $x=\frac{3\pi }{2},f(x)=-1$ （差值 $2$）
• $x=\frac{5\pi }{2},f(x)=1$ （差值 $2$）
• $x=\frac{7\pi }{2},f(x)=-1$ （差值 $2$）
• $x=\frac{9\pi }{2},f(x)=1$ （差值 $2$）
• $x=\frac{11\pi }{2},f(x)=-1$ （差值 $2$）
• $x=6\pi ,f(x)=0$ （差值 $1$）

第三步：累加计算 按照上述极值点顺序选取 $x_i$：

1. $|f(0)-f(\frac{\pi }{2})|=|0-1|=1$
2. $|f(\frac{\pi }{2})-f(\frac{3\pi }{2})|=|1-(-1)|=2$
3. $|f(\frac{3\pi }{2})-f(\frac{5\pi }{2})|=|-1-1|=2$
4. $|f(\frac{5\pi }{2})-f(\frac{7\pi }{2})|=|1-(-1)|=2$
5. $|f(\frac{7\pi }{2})-f(\frac{9\pi }{2})|=|-1-1|=2$
6. $|f(\frac{9\pi }{2})-f(\frac{11\pi }{2})|=|1-(-1)|=2$
7. $|f(\frac{11\pi }{2})-f(6\pi )|=|-1-0|=1$

总和为：$1+2+2+2+2+2+1=12$。 此时选取的点序列为：$\{0,\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\frac{11\pi }{2},6\pi \}$。 点的总数 $m=8$。

答案：8

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦函数的极值与单调性；全变差（Total Variation）的初步概念。
• 核心方法：构造法。通过选取函数的临界点（端点和极值点）来获得最大的数值变化。
• 避坑指南：不要漏掉端点 $0$ 和 $6\pi$。虽然它们不是极值点，但它们提供了最后达到总和 $12$ 所需的余量。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于周期为 $2\pi$ 的连续函数，在 $n$ 个周期内的最大波动总和为 $4n$。本题中 $3$ 个周期的最大总波动正是 $4\times 3=12$。

• 相关知识点：余弦函数的图象、函数的连续性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2016-上海卷理-13
• 2021-上海卷-13 单-函数性质
• 2003-上海卷理-13