2015-北京卷文-16 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解及基本量的计算，属于数列基础解答题。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_2=10,a_4-a_3=2$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_2=a_3,b_3=a_7$，问：$b_6$ 与数列 $\{a_n\}$ 的第几项相等？

🔍【思路分析】

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1. 根据等差数列定义 $a_4-a_3=d$ 求得公差，再由 $a_1+a_2=10$ 求出首项 $a_1$，进而得到通项公式。
2. 计算出 $a_3$ 和 $a_7$ 的值作为 $\{b_n\}$ 的第二、三项，求出等比数列的公比及通项，算出 $b_6$ 后反代入 $\{a_n\}$ 中求解项数。

✅【答案】

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$b_6$ 与数列 $\{a_n\}$ 的第 $63$ 项相等

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $a_4-a_3=2$ 得 $d=2$。 由 $a_1+a_2=10$ 得 $a_1+(a_1+2)=10$，解得 $a_1=4$。 所以 $a_n=a_1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2$。

(2) 设等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 由 (1) 知，$a_3=2\times 3+2=8$，$a_7=2\times 7+2=16$。 因为 $b_2=a_3=8$，$b_3=a_7=16$。 所以 $q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{16}{8}=2$。 从而 $b_1=\frac{b_2}{q}=4$。 故 $b_n=b_1{q}^{n-1}=4\times 2^{n-1}=2^{n+1}$。 所以 $b_6=2^{6+1}=128$。 令 $a_n=128$，即 $2n+2=128$，解得 $n=63$。 答：$b_6$ 与数列 $\{a_n\}$ 的第 $63$ 项相等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与等比数列的通项与基本量。
2. 核心方法：基本量法（转化为 $a_1,d$ 及 $b_1,q$ 的方程）。
3. 避坑指南：注意 $a_4-a_3$ 直接就是公差 $d$，避免列复杂的方程组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列基本运算题。
2. 结论推广: 等差与等比数列交叉设项条件下的综合求解。

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