2023-北京卷-14 填-等差数列等比数列

本题导读

本题考查等差数列的通项与等差中项。核心在于基本量法（方程消元思想）、分段结构衔接法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 ${a_{n}}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1} = 1, a_{5} = 12, a_{9} = 192$ ，则 $a_{7} =$ __________；数列 ${a_{n}}$ 所有项的和为 ____________．

🔍【思路分析】

破题导航

分段处理：数列分为两部分。前 3 项 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 为等差数列；后 7 项 $(a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9})$ 为等比数列。注意 $a_{3}$ 是连接两部分的桥梁。

求等比部分：利用后 7 项中的已知项 $a_{5}, a_{9}$ 求出公比 $q$ 和 $a_{7}$ ，进而求出 $a_{3}$ 。

求等差部分：利用 $a_{1}$ 和求出的 $a_{3}$ 确定前 3 项。

求和：将前两项与后七项的求和公式相加，或直接累加。

✅【答案】

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48；384

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析后 7 项（等比数列）

设后 7 项 ${a_{3}, a_{4}, \dots, a_{9}}$ 的公比为 $q$ ( $q > 0$ )。

由题意得：

$a_{9} = a_{5} \cdot q^{9 - 5} = a_{5} \cdot q^{4}$

代入数据： $192 = 12 \cdot q^{4} \Rightarrow q^{4} = 16$

由于环权质量为正，解得 $q = 2$ 。

因此：

$a_{7} = a_{5} \cdot q^{7 - 5} = 12 \cdot 2^{2} = 48$ （第一空填 48）

同时可以求出等比数列的首项 $a_{3}$ ：

$a_{3} = \frac{a _{5}}{q ^{2}} = \frac{12}{4} = 3$

第二步：分析前 3 项（等差数列）

已知 $a_{1} = 1, a_{3} = 3$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等差数列。

由等差中项性质： $2 a_{2} = a_{1} + a_{3} = 1 + 3 = 4$ ，得 $a_{2} = 2$ 。

所以前 3 项为： $1, 2, 3$ 。

第三步：计算数列 ${a_{n}}$ 的所有项之和

数列的所有项为： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}$ 。

我们可以将其拆分为 $a_{1}, a_{2}$ 和等比数列部分 $(a_{3} \dots a_{9})$ 。

前两项之和： $a_{1} + a_{2} = 1 + 2 = 3$ 。

后七项之和（等比数列求和）：

$S_{后 7} = \frac{a _{3} ( 1 - q ^{7} )}{1 - q} = \frac{3 ( 1 - 2 ^{7} )}{1 - 2} = \frac{3 ( 1 - 128 )}{- 1} = 3 \times 127 = 381$ 。

总和： $S = 3 + 381 = 384$ （第二空填 384）。

也可以直接写出数列各项直接相加：

$1 + 2 + 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 384$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段递推数列中重叠公共项的代数桥接性质、等比数列大步长通项的消元算理、等比求和公式中项数 $n$ 的精准匹配。

核心方法：基本量消元法、全项穷举校验法。

避坑指南：

等比求和公式项数 $n$ 误填（最易错点）：在使用等比求和公式 $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 计算后半段时，必须明确这组等比数列是从 $a_{3}$ 延伸到 $a_{9}$ ，项数 $n = 9 - 3 + 1 = 7$ 。部分考生容易粗心套用 $n = 9$ 或 $n = 6$ ，导致算出的总和发生严重偏差。

计算粗心导致第一空出错：在求解 $q^{4} = 16$ 时，虽然代数上有 $\pm 2$ 两个解，但结合本题物理及文字情境“从小到大”，质量必须为正实数且递增，故强约束 $q = 2$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将数学数列模型与我国战国时期的“环权”度量衡文化进行有机结合，属于非常典型且新颖的“数学文化情境题”。这类试题的设问核心在于考查学生从繁复的文字叙述中，分离出其底层“分段数列缝合”的数学几何本质。题目本身难度中等，重在测试基本功的稳健度。

结论推广：这类“前 $m$ 项成等差，后 $k$ 项成等比”且在第 $m$ 项发生重叠碰撞的融合数列，在高考中有一套标准的解析通式。由于第 $m$ 项 $a_{m}$ 既扮演等差的末项，又扮演等比的首项。我们可以得出等比段内任意两项 $a_{x}, a_{y} (m ⩽ x < y)$ 与等差段首项 $a_{1}$ 的级联控制推广模型： $q = y - x \frac{a _{y}}{a _{x}} ⟹ a_{m} = \frac{a _{x}}{q ^{x - m}}$

进而通过等差通项求得前段的公差 $d$ ： $d = \frac{a _{m} - a _{1}}{m - 1}$

建立起这个通用的分段衔接参数模型，无论题目给出的已知节点如何变化，考生均能通过“先等比解公比、再逆向求桥梁、最后解等差公差”的刚性三步法实现简化处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列

2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列

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2023-北京卷-14 填-等差数列等比数列

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