2015-北京卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数代数形式的乘法运算，是高考数学中的基础起步题。重点在于掌握虚数单位 $i$ 的定义性质（即 $i^2=-1$）以及分配律的应用。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 复数 $i(2-i)=$ ()

A. $1+2i$　　　　B. $1-2i$　　　　C. $-1+2i$　　　　D. $-1-2i$

🔍【思路分析】

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1. 展开括号：利用乘法分配律，将虚数单位 $i$ 分别乘以括号内的每一项。
2. 利用 $i$ 的性质：代入复数核心定义 $i^2=-1$。
3. 整理形式：将结果化简为复数的标准形式 $a+bi$（其中 $a,b\in \mathbb{R}$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：乘法分配展开 根据分配律： $i(2-i)=i\cdot 2-i\cdot i=2i-i^2$

第二步：代入 $i^2=-1$ 因为 $i^2=-1$，所以： $2i-i^2=2i-(-1)$

第三步：化简求值 $2i+1=1+2i$

对照选项，A 项正确。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：虚数单位 $i$ 的平方 $i^2=-1$ 是所有复数运算的基石。
2. 运算细节：在处理 $-i^2$ 时，务必注意负负得正，即 $-(-1)=1$。
3. 避坑指南：不要混淆 $i^2$ 的结果。初学者容易误记为 $1$ 或忽略负号，导致错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：在复平面内，乘以 $i$ 相当于将对应的向量绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$。
• 变式思考：若题目改为求复数 $\frac{2-i}{i}$，该如何计算？ (提示：分子分母同乘 $-i$ 或直接将分式拆分，结果为 $-1-2i$。)
• 能力提升：掌握 $i^n$ 的周期性（$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$），可应对更复杂的复数幂运算。

🔗【关联脉络】

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