2024-北京卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数形式及其乘法运算，核心在于利用虚数单位的性质 $i^2=-1$ 进行化简求解.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）已知 $\frac{z}{i}=i-1$，则 $z=$ ()

A. $1-i$　　　　　　B. $-i$　　　　　　C. $-1-i$　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程变形：已知等式为分式形式，两边同时乘以虚数单位 $i$，将未知数 $z$ 孤立出来。
2. 复数乘法展开：利用乘法分配律展开右侧的代数式 $i(i-1)$。
3. 虚数单位性质代换：根据虚数单位的基本性质 $i^2=-1$，将各项化简为标准实部与虚部形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意，已知复数方程为： $\frac{z}{i}=i-1$

方程两边同时乘以 $i$，得： $z=i(i-1)$

利用乘法分配律展开等式右边： $z=i^2-i$

根据虚数单位的性质，知 $i^2=-1$，代入上式得： $z=-1-i$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘法运算、虚数单位的运算性质（$i^2=-1$）。
2. 核心方法：等式同乘化简法。
3. 避坑指南：

• 在进行乘法展开 $i\times (i-1)=i^2-i$ 时，部分考生容易将运算符号弄错，误算为 $-1+i$。
• 牢记 $i^2=-1$ 的符号极性，切勿记错为 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考复习或正式考试中前三题的保底送分题，源自教材中关于复数四则运算的基础练习题。
2. 结论推广：对于任意形如 $\frac{z}{i}=a+bi(a,b\in \mathbf{R})$ 的复数方程，通过两端同乘 $i$ 均可直接写出通解形式 $z=ai+b{i}^2=-b+ai$。熟练掌握这一结构可实现对此类基础复数小题的快速口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2014-四川卷理-11 填-复数的除法运算
• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算