2025-北京卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数方程的求解与复数模的计算，通过移项、除法或利用模的性质即可快速解题，体现了对基础运算能力的考查.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）若复数 $z$ 满足 $iz+2=2i$，则 $|z|=$()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 解复数方程：通过移项和除法运算，将复数 $z$ 表示为标准形式 $a+bi$. 2.计算模长：利用复数模的定义公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 进行计算.
2. 性质法提速：利用复数模的积性质 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$，直接对等式两边取模，从而避开具体的除法运算.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法：直接运算法（通用方法）

1. 变形方程： 由 $iz+2=2i$ 得： $iz=-2+2i$.

2. 解出 $z$： $z=\frac{-2+2i}{i}$. 分子、分母同时乘以 $-i$（或利用 $\frac{1}{i}=-i$）： $z=(-2+2i)(-i)=2i-2i^2$. 由于 $i^2=-1$，得： $z=2+2i$

3. 计算模长： $|z|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

方法：模的性质法（推荐，最快）

1. 整理等式：由原方程得 $iz=2i-2$.

2. 两边取模： $|iz|=|2i-2|$.

3. 利用性质化简： 根据 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$，左边为 $|i|\cdot |z|$. 已知 $|i|=1$，则左边 $=|z|$. 右边为 $|-2+2i|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. 故 $|z|=2\sqrt{2}$. 故选：B

方法：恒等变形法

1. 方程两边乘 $i$： $i(iz+2)=i(2i)$ $i^{2}z+2i=2i^2⟹-z+2i=-2$.
2. 求出 $z$： $z=2+2i$.
3. 求模： $|z|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 共轭复数：若 $z=2+2i$，则其共轭复数为
• $\bar{z}=2-2i$，且 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=8$.
• 复数的辐角：本题中 $z$ 位于第一象限，其主辐角 $\arg (z)=\frac{\pi }{4}$.

2. 方法总结

• 解方程意识：复数方程的处理与实数方程类似，优先进行移项合并.

• 模的运算性质：掌握 $|iz|=|z|$ 以及 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 是解决复数模选择题的“提速神器”，可以绕过复杂的复数除法步骤.

3. 避坑指南：处理 $\frac{1}{i}$ 时务必注意结果是 $-i$ 还是 $i$；同时注意题目要求的是 $|z|$ 而不是 $z$ 的虚部或共轭复数.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 对于任何形式为 $az+b=c$ ($a,b,c\in \mathbb{C}$) 的方程，其模满足 $|z|=\frac{|c-b|}{|a|}$.
2. 方法的推广:

• 复平面几何法：复数 $z=2+2i$ 对应复平面上的点 $(2,2)$，其模 $|z|$ 即为该点到原点的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法