2015-北京卷理-06 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的性质及不等关系的判定。解题关键在于熟练运用等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 及其等差中项性质 $2a_2=a_1+a_3$，并能结合基本不等式进行逻辑推理。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是 ()

A. 若 $a_1+a_2>0$，则 $a_2+a_3>0$

B. 若 $a_1+a_3<0$，则 $a_1+a_2<0$

C. 若 $0<a_1<a_2$，则 $a_2>\sqrt{a_1{a}_3}$

D. 若 $a_1<0$，则 $(a_2-a_1)(a_2-a_3)>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A、B 选项：利用通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 将各项转化为关于 $a_1$ 和公差 $d$ 的式子，通过寻找反例（调节 $d$ 的符号）来判定结论是否恒成立。
2. 分析 C 选项：利用等差中项性质 $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$，结合基本不等式（算术平均数大于几何平均数）来探讨 $a_2$ 与 $\sqrt{a_1{a}_3}$ 的大小关系。
3. 分析 D 选项：利用公差定义 $a_2-a_1=d$，$a_2-a_3=-d$，直接展开计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 A 选项 若 $a_1+a_2>0$，即 $2a_1+d>0$。 若取 $a_1=10,d=-15$，满足 $20-15=5>0$。 此时 $a_2=-5,a_3=-20$，则 $a_2+a_3=-25<0$。 故 A 错误。

第二步：判定 B 选项 若 $a_1+a_3<0$，由等差中项知 $2a_2<0⟹a_2<0$。 若取 $a_1=5,a_2=-4$，此时 $d=-9$。 则 $a_3=-13$，满足 $a_1+a_3=5-13=-8<0$。 但 $a_1+a_2=5-4=1>0$。 故 B 错误。

第三步：判定 C 选项 已知 $0<a_1<a_2$，说明公差 $d=a_2-a_1>0$，所以 $a_3=a_2+d>a_2>0$。 由等差中项性质知：$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$。 根据基本不等式（均值不等式），对于不相等的正数 $a_1,a_3$： $\frac{a_1+a_3}{2}>\sqrt{a_1{a}_3}$ 即 $a_2>\sqrt{a_1{a}_3}$。 故 C 正确。

第四步：判定 D 选项 根据等差数列定义：$a_2-a_1=d$，$a_2-a_3=-d$。 则 $(a_2-a_1)(a_2-a_3)=d\cdot (-d)=-d^2$。 由于 $-d^2⩽0$，所以结论 $(a_2-a_1)(a_2-a_3)>0$ 不成立。 故 D 错误。

综上所述，正确选项为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心性质：等差数列中 $a_m+a_n=a_p+a_q$（当 $m+n=p+q$ 时）。本题中 $a_1+a_3=2a_2$ 是切入点。
2. 均值不等式联系：等差中项 $\frac{a_1+a_3}{2}$ 对应算术平均数，等比中项 $\sqrt{a_1{a}_3}$ 对应几何平均数。在正项数列中，等差中项不小于等比中项。
3. 避坑指南：处理数列选择题时，特殊值/反例法往往比一般性推导更高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题 C 选项实际上证明了：若正项等差数列不为常数列，则它一定不是等比数列（因为算术平均始终大于几何平均）。
• 变式思考：若将条件改为 $\{a_n\}$ 是正项等比数列，且 $a_1<a_2$，则 $a_2$ 与 $\frac{a_1+a_3}{2}$ 的大小关系如何？ (提示：由均值不等式知 $a_2=\sqrt{a_1{a}_3}<\frac{a_1+a_3}{2}$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

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• 2021-北京卷-06 单-等差数列
• 2014-北京卷理-06 单-线性规划