2015-北京卷理-09 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用。通过二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，锁定特定项的次数并求解其系数，是高考填空题中的常见考点。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 在 $(2+x{)}^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：根据二项式展开公式 $(a+b{)}^n={\sum }_{r=0}^n{C}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，写出第 $r+1$ 项的通用表达式。
2. 确定 $r$ 的值：观察题目要求的项是 $x^3$，通过匹配 $x$ 的指数确定 $r$。
3. 计算系数值：将 $r$ 代入通项公式，计算组合数与常数幂的乘积。

✅【答案】

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40

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 对于二项式 $(2+x{)}^5$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot x^r$

第二步：确定 $r$ 的取值 令 $x$ 的指数 $r=3$。

第三步：计算系数 将 $r=3$ 代入系数部分： 系数 $=C_5^3\cdot 2^{5-3}=C_5^3\cdot 2^2$ 根据组合数性质 $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$。 则系数 $=10\times 4=40$。

故答案为：40。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解决此类问题的唯一利器。注意 $r$ 是从 $0$ 开始计数的，第 $r+1$ 项对应的才是 $b$ 的 $r$ 次方。
2. 易错点纠正：
   • 区分“二项式系数”（即 $C_n^r$）与“项的系数”（包括常数项与组合数的乘积）。
   • 注意常数底数（如本题中的 2）的幂次计算。
3. 计算技巧：利用组合数的对称性 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 可以简化高位组合数的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若要求展开式中所有项的系数之和，只需令 $x=1$，即 $(2+1{)}^5=243$。
• 变式思考：若题目要求的是常数项，而括号内是 $(x+\frac{1}{x}{)}^n$ 形式，则需令 $x$ 的总指数为 $0$。
• 能力提升：掌握杨辉三角的前几行数值（1, 5, 10, 10, 5, 1），可以更快速地直接写出 $n=5$ 时的各项系数。

🔗【关联脉络】

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