2015-四川卷文-05 单-奇函数周期

本题导读

四个函数化简：A 为 $\cos 2x$（偶），B 为 $-\sin 2x$（奇、周期 $\pi$），C 为 $\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$（非奇非偶），D 周期为 $2\pi$，选 B。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 的奇函数是 ()

A. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$　　　B. $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$　　　C. $y=\sin 2x+\cos 2x$　　　D. $y=\sin x+\cos x$

🔍【思路分析】

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四个函数化简：A 为 $\cos 2x$（偶），B 为 $-\sin 2x$（奇、周期 $\pi$），C 为 $\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$（非奇非偶），D 周期为 $2\pi$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

A：$y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$，周期为 $\pi$，但是偶函数，不合题意。

B：$y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$，周期为 $\frac{2\pi }{2}=\pi$，且是奇函数，符合题意。

C：$y=\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期为 $\pi$，但是非奇非偶函数，不合题意。

D：$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期为 $2\pi$，且非奇非偶，不合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式化简 + 奇偶性与周期的综合判定

核心方法：先用诱导公式化为 $\pm \sin \omega x$ 或 $\pm \cos \omega x$ 的标准形式，再查奇偶与周期

避坑指南：A、C 的周期都是 $\pi$，区分点在奇偶性：$\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cos 2x$ 是偶函数，凭”有 $\sin$“就判奇是常见错误；C 需辅助角公式合并后看相位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数图象性质的判定是四川卷高频考点，2013、2012 年四川卷理第 5 题与本题同型。

结论推广：一般地，$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 型函数的奇偶性只看化简后的形态：能化为 $\pm A\sin \omega x$ 为奇、$\pm A\cos \omega x$ 为偶，否则非奇非偶。

方法推广：处理”奇偶 + 周期”双条件题，先全部用诱导公式化为标准形，再统一按 $\omega$ 求周期、按形态定奇偶。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2013年四川卷理-5
• 2015-四川卷理-12 填-两角和差