2012-广东卷理-16 解-函数值域

本题导读

本题考查三角函数的周期公式。核心在于整体代入法、变角化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\cos \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$（其中 $\omega >0,x\in \mathbf{R}$）的最小正周期为 $10\pi$.

(1)求 $\omega$ 的值；

(2)设 $\alpha ,\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， $f\left(5\alpha +\frac{5}{3}\pi \right)=-\frac{6}{5}$， $f\left(5\beta -\frac{5}{6}\pi \right)=\frac{16}{17}$，求 $\cos (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问根据余弦型函数的最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，结合已知 $T=10\pi$ 直接列方程求出 $\omega$。
2. 第二问将 $\omega =\frac{1}{5}$ 代入到已知含 $\alpha$ 和 $\beta$ 的函数表达式中进行整体化简。利用诱导公式 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \theta$ 转化出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \beta$。
3. 根据 $\alpha ,\beta$ 所在的区间范围，通过同角三角函数平方和公式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出对应的 $\cos \alpha$ 和 $\sin \beta$，最终代入两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 完成计算。

✅【答案】

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(1) $\omega =\frac{1}{5}$

(2) $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{13}{85}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\omega$ 的值

因为 函数 $f(x)=2\cos \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的最小正周期为 $10\pi$，且 $\omega >0$， 所以： $T=\frac{2\pi }{\omega }=10\pi ⟹\omega =\frac{1}{5}$

（2）求 $\cos (\alpha +\beta )$ 的值

将 $\omega =\frac{1}{5}$ 代入函数解析式，得到该函数的具体代数式为： $f(x)=2\cos \left(\frac{1}{5}x+\frac{\pi }{6}\right)$

将 $x=5\alpha +\frac{5}{3}\pi$ 代入上式中： $f\left(5\alpha +\frac{5}{3}\pi \right)=2\cos \left[\frac{1}{5}\left(5\alpha +\frac{5}{3}\pi \right)+\frac{\pi }{6}\right]=2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$ 因为 已知该项值等于 $-\frac{6}{5}$，根据诱导公式 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$， 所以： $-2\sin \alpha =-\frac{6}{5}⟹\sin \alpha =\frac{3}{5}$

同理，将 $x=5\beta -\frac{5}{6}\pi$ 代入函数解析式中： $f\left(5\beta -\frac{5}{6}\pi \right)=2\cos \left[\frac{1}{5}\left(5\beta -\frac{5}{6}\pi \right)+\frac{\pi }{6}\right]=2\cos \left(\beta -\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \beta$ 因为 已知该项值等于 $\frac{16}{17}$， 所以： $2\cos \beta =\frac{16}{17}⟹\cos \beta =\frac{8}{17}$

因为 已知定义域满足 $\alpha ,\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 依据同角三角函数基本关系式满足： $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$ $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{8}{17}\right)}^2}=\frac{15}{17}$

根据两角和的余弦公式展开并进行数值计算： $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}\times \frac{8}{17}-\frac{3}{5}\times \frac{15}{17}$ $\cos (\alpha +\beta )=\frac{32}{85}-\frac{45}{85}=-\frac{13}{85}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三角函数周期求解频率系数、自变量内层多项式化简与诱导公式配合、和角公式的代数还原。
2. 核心方法：整体变角代入法。
3. 避坑指南：

• 提取 $\omega =\frac{1}{5}$ 乘入解式时，必须保证对括号内的两项同时做分配律乘法，避免漏乘常数项导致整道大题计算错误。
• 在使用平方和求 $\cos \alpha$ 或 $\sin \beta$ 时，务必核对 $\alpha ,\beta$ 所在的象限范围以确保正负号判定准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于和差角公式应用的经典解答题。
2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )$ 的结构，处理 $f(mx+\gamma )$ 的核心在于通过整体代换，将内层化简为 $\omega mx+(\omega \gamma +\varphi )$。当 $\omega \gamma +\varphi$ 恰好构成 $\frac{\pi }{2}$ 或 $\pi$ 的整数倍时，可直接通过诱导公式降维，这是三角函数大题中的标准流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

• 10.01 两角和与差及辅助角公式 类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-06 填-象限角的三角函数值符号

• 2011-广东卷理-16 解-三角函数

• 2015-四川卷文-05 单-奇函数周期