2015-四川卷文-20 解-椭圆定值

本题导读

(1) $b^2=2$、$a^2=4$，椭圆为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；（Ⅱ）存在 $\lambda =1$，使 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=-1$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点.是否存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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(1) $b^2=2$、$a^2=4$，椭圆为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；（Ⅱ）存在 $\lambda =1$，使 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

(2) 存在 $\lambda =1$，此时定值为 $-3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由对称性设 $C(0,b)$，$D(0,-b)$。$P(0,1)$，则 $\overrightarrow{PC}=(0,b-1)$，$\overrightarrow{PD}=(0,-b-1)$，

$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=(b-1)(-b-1)=1-b^2=-1$，得 $b^2=2$。

又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，得 $a^2=2b^2=4$。

故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。

(2) 当直线 $AB$ 斜率存在时，设其方程为 $y=kx+1$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。

联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+1,\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1,\end{array}$ 消去 $y$ 得 $(2k^2+1)x^2+4kx-2=0$，判别式恒正。

$x_1+x_2=-\frac{4k}{2k^2+1}$，$x_1{x}_2=-\frac{2}{2k^2+1}$。

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(1+k^2)x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1$；

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x_1{x}_2+(y_1-1)(y_2-1)=(1+k^2)x_1{x}_2$。

于是 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(1+\lambda )(1+k^2)x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1$

$=\frac{-2(1+\lambda )(1+k^2)-4k^2}{2k^2+1}+1$。

要使之为与 $k$ 无关的定值，取 $\lambda =1$：原式 $=\frac{-4(1+k^2)-4k^2}{2k^2+1}+1=\frac{-4-8k^2+2k^2+1}{2k^2+1}=\frac{-3(2k^2+1)}{2k^2+1}=-3$。

当直线 $AB$ 斜率不存在时，$AB$ 即直线 $CD$（$x=0$），$A(0,\sqrt{2})$，$B(0,-\sqrt{2})$：

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-2$，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2}-1)=-1$，和为 $-2+1\times (-1)=-3$，仍为定值。

故存在常数 $\lambda =1$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程、韦达定理与向量数量积定值

核心方法：几何条件代数化定方程；设线联立后把数量积整体表示为 $k$ 的分式，令分子与分母成比例探 $\lambda$

避坑指南：斜率不存在时 $A$、$B$ 即短轴端点，必须单独验证仍得 $-3$（此时 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-1$ 而非 0）；探定值时先由特殊位置（如 $x=0$）猜出 $\lambda$ 再回代一般情形，顺序反过来容易解不出 $\lambda$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以”数量积 + 参数定值”为设问的椭圆综合题是四川卷解析几何压轴的标志题型，2015 年四川卷理第 20 题为同源题（理求定点 $Q$），2014、2013 年四川卷理第 20 题同型。

结论推广：一般地，对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与过定点 $P(0,t)$ 的弦 $AB$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值的 $\lambda$ 与定值都可由竖直弦（斜率不存在）的位置先读出，再验证一般直线。

方法推广：定值/定点问题的标准套路：先特殊探路（取最简单的弦）确定目标值，再设线联立、韦达整体代入证明与参数无关，最后补上斜率不存在（或不存在）的边界情形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-20 解-椭圆性质
• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质