2012-江苏卷-19 解-椭圆方程与焦点弦定值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$.已知点 $(1,e)$ 和 $\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设 $A$，$B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A{F}_1$ 与直线 $B{F}_2$ 平行，$A{F}_2$ 与 $B{F}_1$ 交于点 $P$. (i) 若 $A{F}_1-B{F}_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $A{F}_1$ 的斜率； (ii) 求证：$P{F}_1+P{F}_2$ 是定值.

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🔍【思路分析】

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(1) $b^2=1$，$a^2=2$，椭圆为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2) $k>0$ 且 $k^2=\frac{1}{2}$，斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；$P{F}_1+P{F}_2=2\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 为定值。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2)(i) 斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(ii) $P{F}_1+P{F}_2=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 为定值

✍【详细解析】

Abstract

（1）由离心率的定义，$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}$。将点 $(1,e)$ 代入椭圆方程，得 $\frac{1}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{a^2-b^2}{a^2{b}^2}=\frac{1}{b^2}=1$，

所以 $b^2=1$。再将点 $\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 代入，得 $\frac{e^2}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1$，即 $\frac{a^2-1}{a^4}+\frac{3}{4}=1$。因此 $a^4-4a^2+4=0$，从而 $a^2=2$。故椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

（2）由 $a^2=2$，$b^2=1$，得 $c=1$，所以 $F_1=(-1,0)$，$F_2=(1,0)$。若直线 $A{F}_1$ 和 $B{F}_2$ 都为竖直线，则 $A=\left(-1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，$B=\left(1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。此时两直线 $A{F}_2$ 和 $B{F}_1$ 的交点为 $P=\left(0,\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$，从而 $P{F}_1+P{F}_2=2\sqrt{1+\frac{1}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

以下设两直线不为竖直线，记它们的斜率为 $k$。令 $A=(-1+t,kt)$，$B=(1+s,ks)$。因为 $A$，$B$ 位于 $x$ 轴上方，所以 $t$，$s$ 同号，且与 $k$ 同号。代入椭圆方程，得

$\{\begin{array}{l}(1+2k^2)t^2-2t-1=0,\\ (1+2k^2)s^2+2s-1=0.\end{array}$

记 $d=1+2k^2$，$r=\sqrt{2}(1+k^2)$。当 $k>0$ 时取两方程的正根；当 $k<0$ 时取两方程的负根。记 $T=|t|$，$S=|s|$，由根的表达式可知，无论 $k$ 正负，都有 $TS=\frac{1}{d}$，且 $S+T=\frac{2r}{d}$，并且 $T>S$ 当且仅当 $k>0$。再记 $q=\sqrt{1+k^2}$，则 $A{F}_1=qT$，$B{F}_2=qS$。

（i）由 $A{F}_1-B{F}_2=\frac{\sqrt{6}}{2}>0$，可知 $T>S$，从而 $k>0$。此时 $T=\frac{1+r}{d}$，$S=\frac{r-1}{d}$，从而 $A{F}_1-B{F}_2=\frac{2q}{d}$，题设给出 $\frac{2q}{1+2k^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。由于 $1+2k^2=2q^2-1$，平方并整理得 $12q^4-20q^2+3=0$，所以 $q^2=\frac{3}{2}$ 或 $q^2=\frac{1}{6}$。因为 $q^2=1+k^2⩾1$，故 $q^2=\frac{3}{2}$，从而 $k^2=\frac{1}{2}$。又 $k>0$，所以直线 $A{F}_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

（ii）椭圆上任意点到两焦点的距离和为 $2a=2\sqrt{2}$，故 $A{F}_2=2\sqrt{2}-qT$，$B{F}_1=2\sqrt{2}-qS$。设 $P=A{F}_2\cap B{F}_1$，并写成 $P=F_2+\lambda (A-F_2)=F_1+\mu (B-F_1)$。由 $A-F_2=(t-2,kt)$，$B-F_1=(s+2,ks)$，比较横、纵坐标可得 $\lambda =\frac{S}{S+T}$，$\mu =\frac{T}{S+T}$。因此 $P{F}_2=\frac{S}{S+T}A{F}_2$，$P{F}_1=\frac{T}{S+T}B{F}_1$，于是

$P{F}_1+P{F}_2=\frac{T(2\sqrt{2}-qS)+S(2\sqrt{2}-qT)}{S+T}=2\sqrt{2}-\frac{2qTS}{S+T}=2\sqrt{2}-\frac{q}{r}=2\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

所以 $P{F}_1+P{F}_2$ 是定值 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含离心率点的代入消元；平行弦的参数设法与韦达结构；定值问题的比例分解

核心方法：点 $(1,e)$ 代入即得 $b^2=1$ 是消元关键；用 $A=(-1+t,kt)$、$B=(1+s,ks)$ 使焦半径 $=q|t|$，$TS$、$S+T$ 全部由韦达定理给出

避坑指南：$T>S$ 与 $k$ 同号这一细节决定 (i) 中只能取 $q^2=\frac{3}{2}$；(ii) 中 $P$ 的分点比例 $\frac{S}{S+T}$、$\frac{T}{S+T}$ 来自两条相交线段的参数比较，横纵坐标都要用上，只比横坐标会解不出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆焦点弦与定值综合题，与 2012 年天津卷文第 19 题、2015 年四川卷文第 20 题同族。

结论推广：平行于”过焦点直线束”的两条弦可用同一斜率参数统一设点；$P{F}_1+P{F}_2=2a-\frac{2qTS}{S+T}$ 型定值在平行焦点弦结构中具有一般性。

方法推广：解析几何压轴：设点参数化（含焦点的直线用过焦点横移设法）→ 韦达定理凑对称量 → 定值目标用比例分配化简，全程监控参数符号约束。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-19 解-椭圆离心率与斜率
• 2013-江西卷文-20 解-椭圆顶点定值
• 2015-四川卷文-20 解-椭圆定值