2015-四川卷理-10 单-抛物线性质

本题导读

本题是解析几何的综合压轴题。题目巧妙地将抛物线的中点弦性质与圆的切线性质结合。核心难点在于通过“点差法”建立中点坐标与直线斜率的关系，进而利用切线垂直性质锁定中点轨迹，最终根据直线条数限制确定半径 $r$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 设直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A,B$ 两点，与圆 $(x-5{)}^2+y^2=r^2$ ($r>0$) 相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点.若这样的直线 $l$ 恰有 4 条，则 $r$ 的取值范围是 ()

A. $(1,3)$　　　　B. $(1,4)$　　　　C. $(2,3)$　　　　D. $(2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析特殊情况（斜率不存在）：
   • 当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时，$AB$ 是抛物线的垂直弦，中点 $M$ 必在 $x$ 轴上。
   • 若 $l$ 与圆相切，则切点 $M$ 为 $(5-r,0)$ 或 $(5+r,0)$。
   • 对于抛物线 $y^2=4x$，要使直线与抛物线有两个交点，直线的横坐标必须大于 0。
   • 经检验，满足条件的直线必有 2 条。这意味着剩下的 2 条直线必须由斜率存在的情况贡献。
2. 处理一般情况（斜率存在）：
   • 点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x_0,y_0)$。利用 $y_1^2=4x_1$ 和 $y_2^2=4x_2$ 相减，得出 $k_{AB}\cdot y_0=2$。
     • 切线性质：圆心为 $C(5,0)$。直线 $l$ 与圆切于 $M$，故 $CM\perp l$。
   • 建立斜率关系：$k_{CM}\cdot k_l=-1⟹\frac{y_0-0}{x_0-5}\cdot k_l=-1$。
3. 寻找中点轨迹：
   • 联立 $k_l=\frac{2}{y_0}$ 与 $\frac{y_0}{x_0-5}\cdot \frac{2}{y_0}=-1$，化简得 $x_0=3$。
   • 即中点 $M$ 必须落在直线 $x=3$ 上。
4. 限定中点范围：
   • 因为 $M$ 是抛物线内部弦的中点，其纵坐标 $y_0$ 受限于抛物线边界。
   • 将 $x=3$ 代入抛物线得 $y^2=12$，故 $-2\sqrt{3}<y_0<2\sqrt{3}$（且 $y_0\ne 0$）。
5. 结合圆方程求解：
   • 点 $M(3,y_0)$ 在圆上，代入圆方程 $(3-5{)}^2+y_0^2=r^2⟹r^2=y_0^2+4$。
   • 利用 $y_0^2$ 的范围确定 $r$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：讨论斜率不存在的情况 当直线 $l$ 的斜率不存在时，设 $l:x=m$ ($m>0$)。 此时 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称，中点 $M$ 为 $(m,0)$。 直线 $l$ 与圆 $(x-5{)}^2+y^2=r^2$ 相切，则 $|m-5|=r⟹m=5\pm r$。 因为 $r<5$（隐含条件，否则圆包围原点导致交点情况变化），且 $m>0$，此处总能找到 2 条直线。 要使总共有 4 条直线，则斜率存在的情况必须贡献另外 2 条。

第二步：利用点差法求中点轨迹 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x_0,y_0)$，直线斜率为 $k$。 则 $y_1^2=4x_1$，$y_2^2=4x_2$。 两式相减得：$(y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)$。 因为 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k$，$\frac{y_1+y_2}{2}=y_0$， 所以 $k\cdot 2y_0=4⟹k{y}_0=2$。

第三步：结合圆的切线性质 圆心 $C(5,0)$。由于 $l$ 切圆于 $M$，故 $CM\perp l$。 $k_{CM}=\frac{y_0-0}{x_0-5}$。由 $k_{CM}\cdot k=-1$ 得： $\frac{y_0}{x_0-5}\cdot \frac{2}{y_0}=-1⟹\frac{2}{x_0-5}=-1⟹x_0=3$ 所以中点 $M$ 必在直线 $x=3$ 上。

第四步：确定 $r$ 的范围 点 $M(3,y_0)$ 在抛物线内部，且不是顶点，则： $y_0^2<4\times 3=12$。 又因为 $M$ 在圆上，代入圆方程： $(3-5{)}^2+y_0^2=r^2⟹r^2=4+y_0^2$ 由 $0<y_0^2<12$（$y_0\ne 0$ 对应斜率存在的情况）： $4<4+y_0^2<4+12⟹4<r^2<16$ 解得 $2<r<4$。

答案：D 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：点差法（处理圆锥曲线中点弦的首选）；直线与圆相切的几何条件（圆心距等于半径，切径垂直）。
• 核心方法：轨迹法。通过代数变形发现中点 $M$ 的横坐标为定值，极大地简化了动态直线的分析。
• 避坑指南：
  1. 不要忽略斜率不存在的情况，它是 4 条直线的组成部分。
  2. 注意 $y_0^2$ 的开区间范围，这决定了 $r$ 范围的端点是否包含。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于抛物线 $y^2=2px$，中点弦斜率 $k$ 与中点纵坐标 $y_0$ 满足 $k{y}_0=p$。

• 相关知识点：圆的幂定理、隐函数求导在解析几何中的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-10 单-抛物线方程
• 2011-四川卷理-10
• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质