2015-四川卷理-12 填-两角和差

本题导读

本题考查特殊角三角函数值的求和。核心在于通过三角恒等变换将非特殊角（$15^{\circ },75^{\circ }$）转化为特殊角（$30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$）的组合，或者利用诱导公式统一函数名后再进行合并。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） $\sin 15^{\circ }+\sin 75^{\circ }=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察角度特征：$15^{\circ }+75^{\circ }=90^{\circ }$，互为余角。这暗示可以使用诱导公式。
2. 多路径选择：
   • 路径 A（诱导公式+辅助角）：将 $\sin 75^{\circ }$ 转化为 $\cos 15^{\circ }$，然后利用辅助角公式 $a\sin \alpha +b\cos \alpha$ 合并。
   • 路径 B（两角和差公式）：将 $15^{\circ }$ 写成 $45^{\circ }-30^{\circ }$，将 $75^{\circ }$ 写成 $45^{\circ }+30^{\circ }$，展开后合并。
     • 路径 C（和差化积公式）：直接套用 $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：诱导公式与辅助角法（推荐） 利用诱导公式 $\sin 75^{\circ }=\sin (90^{\circ }-15^{\circ })=\cos 15^{\circ }$。 则原式 $=\sin 15^{\circ }+\cos 15^{\circ }$。 利用辅助角公式 $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha +45^{\circ })$： $\sin 15^{\circ }+\cos 15^{\circ }=\sqrt{2}\sin (15^{\circ }+45^{\circ })=\sqrt{2}\sin 60^{\circ }$ 代入特殊角值 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

解法二：两角和差公式法 $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 相加得： $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

解法三：和差化积法 $\sin 15^{\circ }+\sin 75^{\circ }=2\sin \frac{15^{\circ }+75^{\circ }}{2}\cos \frac{15^{\circ }-75^{\circ }}{2}$ $=2\sin 45^{\circ }\cos (-30^{\circ })=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：互余角度的转换（$\sin \theta =\cos (90^{\circ }-\theta )$）；特殊角三角函数值的记忆。
• 核心方法：化归思想。将非特殊角转化为特殊角计算是三角变换的最优目标。
• 避坑指南：计算中根号的化简要准确，注意不要漏掉 $\sqrt{2}$ 倍数。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 常见非特殊角值 $\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

• 相关知识点：正切的两角和差公式、倍角公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-12 填-函数的周期性
• 2011-四川卷理-17
• 2014-四川卷理-16 解-正弦函数的单调性