2014-四川卷理-16 解-正弦函数的单调性

本题导读

本题考查复合三角函数的单调区间求解以及通过复杂的恒等式进行求值。第一问利用整体思想求解增区间；第二问通过公式展开与化简，结合象限角判定最终结果，具有一定的综合性。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (3x+\frac{\pi }{4})$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；

(2) 若 $\alpha$ 是第二象限角，$f(\frac{\alpha }{3})=\frac{4}{5}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos 2\alpha$，求 $\cos \alpha -\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：整体代换
   • 将 $3x+\frac{\pi }{4}$ 看作整体 $z$。
   • 利用正弦函数 $y=\sin z$ 的单调增区间 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$ 建立关于 $x$ 的不等式并解出。
2. 第二问：恒等变形与求值
   • 代入解析式：$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos 2\alpha$。
   • 利用和角公式展开 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$ 和 $\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})$，利用二倍角公式展开 $\cos 2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$。
   • 提取公因式并分类讨论：考虑 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 是否为 $0$。
   • 结合 $\alpha$ 是第二象限角的条件确定符号。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求单调增区间；第 (2) 小题：三角恒等求值；若 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$；若 $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求单调增区间 由正弦函数的性质可知，令： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 3x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 两边同时减去 $\frac{\pi }{4}$ 得： $-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \le 3x\le \frac{\pi }{4}+2k\pi$ 同时除以 $3$ 得： $-\frac{\pi }{4}+\frac{2}{3}k\pi \le x\le \frac{\pi }{12}+\frac{2}{3}k\pi$ 所以，$f(x)$ 的单调递增区间为 $[-\frac{\pi }{4}+\frac{2}{3}k\pi ,\frac{\pi }{12}+\frac{2}{3}k\pi ],k\in \mathbb{Z}$.

第 (2) 小题：三角恒等求值 由题意得：$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos 2\alpha$. 利用公式 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$，$\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )$： $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )$ 整理得： $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{4}{5}(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$ 即：$(\sin \alpha +\cos \alpha )[1-\frac{4}{5}(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2]=0$.

分类讨论：

1. 若 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$： 此时 $\tan \alpha =-1$，由于 $\alpha$ 是第二象限角，得 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$. 则 $\cos \alpha -\sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$.
2. 若 $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$： 则 $1=\frac{4}{5}(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2⟹(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=\frac{5}{4}$. 由于 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos \alpha <0,\sin \alpha >0$，所以 $\cos \alpha -\sin \alpha <0$. 开方取负值得：$\cos \alpha -\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

综上所述，$\cos \alpha -\sin \alpha$ 的值为 $-\sqrt{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦函数单调性求解，三角公式的综合运用。 2. 易错点提醒：在第 (2) 问简化等式时，不能直接约去 $\sin \alpha +\cos \alpha$，必须讨论其是否为 $0$，否则会漏解。 3. 符号判定：第二象限角的三角函数符号（余弦负、正弦正）是确定最终结果正负号的关键依据。

2. 核心方法：整体代换求单调区间，恒等变形后分类讨论求值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦函数单调性求解，三角公式的综合运用。 2. 易错点提醒：在第 (2) 问简化等式时，不能直接约去 $\sin \alpha +\cos \alpha$，必须讨论其是否为 $0$，否则会漏解。 3. 符号判定：第二象限角的三角函数符号（余弦负、正弦正）是确定最终结果正负号的关键依据。

2. 结论推广: 约去公因式前须讨论其是否为零，避免漏解。

3. 方法推广: 含公因式的三角恒等式求值需分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-21 解-正弦函数的单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性