2015-四川卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题是典型的古典概型与随机变量分布列的综合题。第一问通过对立事件简化“至少”类概率的计算；第二问考查超几何分布背景下的分布列建立与期望计算，重点在于准确识别随机变量的所有可能取值及对应的组合数计算。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 某市 A, B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐 3 名男生，2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队.

(1) 求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率.

(2) 某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 计数统计：集训队员中，男生共 $3+3=6$ 名，女生共 $2+4=6$ 名。代表队共 $3+3=6$ 人。
   • 对立事件：“A 中学至少有 1 人入选”的对立事件是“A 中学没有人入选”（即入选的 6 人全部来自 B 中学）。
     • 概率计算：利用组合数公式计算全选自 B 中学的概率，再用 1 减去该值。
2. 第二问思路：
   • 变量分析：代表队中有 3 名男生，3 名女生。从中任抽 4 人，参赛男生人数 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3。
   • 模型识别：这是一个典型的超几何分布模型。
     • 计算分布列：利用公式 $P(X=k)=\frac{C_3^k{C}_3^{4-k}}{C_6^4}$ 分别计算 $P(1),P(2),P(3)$。
   • 期望计算：利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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（1）男生中不选𝐴中学学生的概率为1C36

✍【详细解析】

Abstract

（I）求 A 中学至少有 1 名学生入选的概率

参加集训的男生有 6 名，女生有 6 名。代表队由 3 男 3 女组成。 入选代表队的所有可能情况总数为 $C_6^3\cdot C_6^3=20\times 20=400$ 种。 设事件 $M$ 为“A 中学没有学生入选”，即入选的 3 男 3 女全部来自 B 中学。 由于 B 中学有 3 男 4 女，则 $M$ 的情况数为 $C_3^3\cdot C_4^3=1\times 4=4$ 种。 故 $P(M)=\frac{4}{400}=\frac{1}{100}$。 由对立事件概率公式，A 中学至少有 1 名学生入选的概率为： $P=1-P(M)=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$

（II）求 $X$ 的分布列和数学期望

代表队的 6 名队员中共有 3 名男生和 3 名女生。从中抽取 4 人参赛。 $X$ 表示参赛的男生人数，则 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3。

• $P(X=1)=\frac{C_3^1\cdot C_3^3}{C_6^4}=\frac{3\times 1}{15}=\frac{1}{5}$
• $P(X=2)=\frac{C_3^2\cdot C_3^2}{C_6^4}=\frac{3\times 3}{15}=\frac{3}{5}$
• $P(X=3)=\frac{C_3^3\cdot C_3^1}{C_6^4}=\frac{1\times 3}{15}=\frac{1}{5}$

$X$ 的分布列为：

$X$	1	2	3
$P$	1/5	3/5	1/5

数学期望： $E(X)=1\times \frac{1}{5}+2\times \frac{3}{5}+3\times \frac{1}{5}=\frac{1+6+3}{5}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：组合数 $C_n^m$ 的应用；对立事件概率转化；离散型随机变量期望。
• 核心方法：分类计数法。在计算 $X$ 的取值概率时，一定要保证“抽取的总人数”与“各类别抽取的子人数之和”一致。
• 避坑指南：第一问要注意男生和女生是分别抽取的，所以总情况数是两个组合数的乘积，而非 $C_{12}^6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $X\sim H(N,M,n)$，则 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$。本题中 $E(X)=4\cdot \frac{3}{6}=2$，与计算结果一致。

• 相关知识点：二项分布、条件概率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列
• 2010-四川卷理-17
• 2013年四川卷理-18