2015-天津卷文-04 单-充要条件

本题导读

$|x-2|<1⟺1<x<3$，而 $\{x\mid 1<x<2\}⫋\{x\mid 1<x<3\}$，故为充分而不必要条件，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，则"$1<x<2$"是"$|x-2|<1$"的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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$|x-2|<1⟺1<x<3$，而 $\{x\mid 1<x<2\}⫋\{x\mid 1<x<3\}$，故为充分而不必要条件，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$|x-2|<1⟺-1<x-2<1⟺1<x<3$。

记 $P=\{x\mid 1<x<2\}$，$Q=\{x\mid 1<x<3\}$，则 $P⫋Q$。

由小范围推大范围：$x\in P\Rightarrow x\in Q$（充分性成立）；$x\in Q$ 不能推出 $x\in P$（如 $x=2.5$），必要性不成立。

故"$1<x<2$"是"$|x-2|<1$"的充分而不必要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件的集合判定

核心方法：解出不等式，转化为集合的包含关系

避坑指南："$|x-2|<1$"的解集是 $(1,3)$ 而非 $(1,2)$，两集合不相等是判断的关键；牢记”小推大充分、大推小必要”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷常规题型，2016、2017-2019 年天津卷均以不同载体（不等式、函数）考查过充要条件。

结论推广：两个条件对应的集合无包含关系时，结论为”既不充分也不必要”；相等时为充要条件。

方法推广：处理充要条件题，先把两个条件各自化简为最简形式，再用集合语言比较，避免凭感觉判断。

🔗【关联脉络】

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