2012-天津卷文-05 单-充分必要条件

本题导读

本题考查一元二次不等式的解集，以及充分条件与必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，则"$x>\frac{1}{2}$"是"$2x^2+x-1>0$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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$2x^2+x-1>0$ 的解为 $x>\frac{1}{2}$ 或 $x<-1$，小集合推大集合成立而反向不成立，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$，故 $2x^2+x-1>0$ 的解集为 $\left\{x\mid x>\frac{1}{2}\text{或}x<-1\right\}$。

记 $A=\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$，$B=(-\infty ,-1)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$，则 $A⫋B$。

由 $x>\frac{1}{2}$ 可得 $2x^2+x-1>0$，充分性成立；取 $x=-2$ 满足后者但不满足前者，必要性不成立。

故为充分而不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的集合判别法

核心方法：解不等式得两集合，用包含关系判定

避坑指南：二次不等式解集是两根之外，别写成两根之间；否定必要性举一个反例即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件判定入口题，与 2013 年天津卷文第 4 题、2015 年天津卷文第 4 题同族。

结论推广：若 $p$ 对应集合 $A$，$q$ 对应集合 $B$，则 $A⫋B$ 时 $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件。

方法推广：小集合对应命题推大集合对应命题：小者为充分条件，大者为必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-04 单-充分必要条件
• 2015-天津卷文-04 单-充要条件
• 2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件