2015-天津卷文-18 解-错位相减

本题导读

$q^2=4$ 得 $a_n=2^{n-1}$，$d=2$ 得 $b_n=2n-1$；$c_n=(2n-1)2^{n-1}$ 错位相减得 $S_n=(2n-3)2^n+3$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=b_1=1$，$b_2+b_3=2a_3$，$a_5-3b_2=7$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $c_n=a_n{b}_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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$q^2=4$ 得 $a_n=2^{n-1}$，$d=2$ 得 $b_n=2n-1$；$c_n=(2n-1)2^{n-1}$ 错位相减得 $S_n=(2n-3)2^n+3$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^{n-1}$，$b_n=2n-1$

(2) $\sum _{k=1}^n{c}_k=(2n-3)2^n+3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$（$q>0$），$\{b_n\}$ 的公差为 $d$。

$b_2+b_3=(1+d)+(1+2d)=2+3d=2a_3=2q^2$；$a_5-3b_2=q^4-3(1+d)=7$。

由第一式 $d=\frac{2q^2-2}{3}$，代入第二式：$q^4-3-2q^2+2=7$，即 $q^4-2q^2-8=0$，解得 $q^2=4$（负根舍），$q=2$，$d=2$。

故 $a_n=2^{n-1}$，$b_n=2n-1$。

(2) $c_n=(2n-1)2^{n-1}$。设前 $n$ 项和为 $S_n$：

$S_n=1\cdot 2^0+3\cdot 2^1+5\cdot 2^2+\cdots +(2n-1)2^{n-1}$，

$2S_n=1\cdot 2^1+3\cdot 2^2+\cdots +(2n-3)2^{n-1}+(2n-1)2^n$。

两式相减：$-S_n=1+2\left(2^1+2^2+\cdots +2^{n-1}\right)-(2n-1)2^n=1+2\left(2^n-2\right)-(2n-1)2^n$。

整理得 $S_n=(2n-3)2^n+3$。（验证：$n=1$ 时 $S_1=(-1)\cdot 2+3=1$，$n=2$ 时 $S_2=1\cdot 4+3=7=1+6$，成立。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差、等比数列的基本量运算；错位相减法

核心方法：两个约束条件消元定 $q,d$；“等差 × 等比”型数列用错位相减

避坑指南：$q^4-2q^2-8=0$ 换元 $t=q^2$ 后注意 $q>0$ 取正根；错位相减后的等比和是 $2^1$ 到 $2^{n-1}$ 共 $n-1$ 项，项数与首末项不能数错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“等差 × 等比 + 错位相减”是天津卷数列解答题的标志性考查形态，2005、2014-2019 年天津卷反复出现。

结论推广：把 $c_n=a_n{b}_n$ 换成 $c_n=(2n-1)\cdot 2^n$ 或 $c_n=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$，仍是错位相减（后者可视为等比底数取 $\frac{1}{2}$）。

方法推广：“等差 × 等比”结构条件反射式选择错位相减；算完务必代 $n=1,2$ 验证，两分钟内排除整理错误。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

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