2015-天津卷文-20 解-切线不等式

本题导读

单调区间由 $f^{\prime }=4-4x^3$ 定出；作差 $h(x)=g(x)-f(x)$ 用最小值证 $f\le g$；用 $P$ 处切线控制 $x_2$、原点处切线控制 $x_1$，得 $x_2-x_1\le 4^{1/3}-\frac{a}{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=4x-x^4$，$x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y=g(x)$，求证：对于任意的实数 $x$，都有 $f(x)\le g(x)$；

(3) 若方程 $f(x)=a$（$a$ 为实数）有两个正实数根 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_2-x_1\le -\frac{a}{3}+4^{\frac{1}{3}}$.

🔍【思路分析】

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单调区间由 $f^{\prime }=4-4x^3$ 定出；作差 $h(x)=g(x)-f(x)$ 用最小值证 $f\le g$；用 $P$ 处切线控制 $x_2$、原点处切线控制 $x_1$，得 $x_2-x_1\le 4^{1/3}-\frac{a}{3}$。

✅【答案】

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(1) 增区间 $(-\infty ,1)$，减区间 $(1,+\infty )$

(2)

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=4-4x^3$，$f^{\prime }(x)>0⟺x<1$。故增区间为 $(-\infty ,1)$，减区间为 $(1,+\infty )$。

(2) $f(x)=4x-x^4=0$ 的正根为 $x_0=4^{\frac{1}{3}}$，$P=\left(4^{\frac{1}{3}},0\right)$，$f^{\prime }(x_0)=4-4x_0^3=4-16=-12$，$g(x)=-12\left(x-4^{\frac{1}{3}}\right)$。

令 $h(x)=g(x)-f(x)=x^4-16x+12\cdot 4^{\frac{1}{3}}$，则 $h^{\prime }(x)=4x^3-16=4\left(x^3-4\right)$。

$x<x_0$ 时 $h^{\prime }<0$，$x>x_0$ 时 $h^{\prime }>0$，故 $h$ 在 $x_0$ 处取最小值 $h(x_0)=4^{\frac{4}{3}}-16\cdot 4^{\frac{1}{3}}+12\cdot 4^{\frac{1}{3}}=4\cdot 4^{\frac{1}{3}}-4\cdot 4^{\frac{1}{3}}=0$。

所以对任意实数 $x$，$h(x)\ge 0$，即 $f(x)\le g(x)$。

(3) 由 $f(1)=3$，$f(x)=a$ 有两个正根时 $0<a<3$，且 $x_1\in (0,1)$，$x_2\in \left(1,4^{\frac{1}{3}}\right)$。

设 $g(x)=a$ 的根为 $x_0-\frac{a}{12}$（$x_0=4^{\frac{1}{3}}$）。由（2），$h$ 在 $\left(-\infty ,x_0\right)$ 上单调递减，且 $h\left(x_0-\frac{a}{12}\right)=h(x_0)+\frac{a}{12}\cdot 4=\frac{a}{3}>0$，

而 $h(x_2)=g(x_2)-f(x_2)=g(x_2)-a\ge 0$；又 $x_2<x_0$，由 $h$ 递减与 $g$ 递减（斜率 $-12$）可得 $x_2\le x_0-\frac{a}{12}$：

若 $x_2>x_0-\frac{a}{12}$，则由 $h$ 递减，$0\le h(x_2)<h\left(x_0-\frac{a}{12}\right)=\frac{a}{3}$，且 $g(x_2)<g\left(x_0-\frac{a}{12}\right)=a$，与 $h(x_2)=g(x_2)-a\ge 0$ 矛盾。

另一方面，曲线在原点处的切线为 $y=4x$，对任意 $x>0$ 有 $f(x)=4x-x^4\le 4x$，故 $a=f(x_1)\le 4x_1$，即 $x_1\ge \frac{a}{4}$。

于是 $x_2-x_1\le \left(x_0-\frac{a}{12}\right)-\frac{a}{4}=x_0-\frac{a}{3}=4^{\frac{1}{3}}-\frac{a}{3}=-\frac{a}{3}+4^{\frac{1}{3}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用导数研究单调性；切线放缩；方程根的位置估计

核心方法：作差函数取最值证恒成立；“上切线控上根、下切线控下根”的组合放缩

避坑指南：第（3）问的关键是分清两条切线的分工：$P$ 处切线结合 $h$ 的单调性给出 $x_2$ 的上界，原点处切线给出 $x_1$ 的下界，两者系数 $\frac{1}{12}$ 与 $\frac{1}{4}$ 合成 $\frac{1}{3}$；放缩方向弄反则证不出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷导数压轴的标志性结构（单调性 + 切线不等式 + 双根估计），与 2015 年天津卷理第 20 题及 2016-2019 年理卷压轴一脉相承。

结论推广：把 $f(x)=4x-x^4$ 推广为 $f(x)=px-q{x}^4$，切线放缩的双控结构与两根距离的封闭上界仍可平行建立（比例系数随 p、q 相应调整）。

方法推广：证”$f(x)\le$ 切线”恒成立，统一作差后用最小值判定；估计两根距离时，先给每个根找到一条能代数的”控制线”，再做系数合成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.10 导数常用放缩模型

类题演练(Links)

• 2015-天津卷理-20 解-导数单调性
• 2016-天津卷理-20
• 2014-天津卷理-20 解-导数的综合应用与单调性