2012-天津卷文-20 解-三次函数零点与区间最值

本题导读

本题考查利用导数研究单调性。核心在于导数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1-a}{2}{x}^2-ax-a$，$x\in \mathbf{R}$，其中 $a>0$.

(1)求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$，最小值为 $m(t)$，记 $g(t)=M(t)-m(t)$，求函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

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$f^{\prime }(x)=(x+1)(x-a)$；恰有两个零点需 $f(-1)>0$ 即 $0<a<\frac{1}{3}$；$a=1$ 时 $g(t)$ 在 $[-3,-2]$ 递减、$[-2,-1]$ 恒为 $\frac{4}{3}$，最小值为 $\frac{4}{3}$。

✅【答案】

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(1)增区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(a,+\infty )$，减区间 $(-1,a)$；(2)$a\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$；(3)最小值为 $\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=x^2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a)$。由 $a>0$，$f^{\prime }(x)>0$ 在 $(-\infty ,-1)$ 与 $(a,+\infty )$ 上成立，$f^{\prime }(x)<0$ 在 $(-1,a)$ 上成立。

故增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(a,+\infty )$，减区间为 $(-1,a)$。

（2）在 $(-2,0)$ 内，$f$ 在 $(-2,-1)$ 上递增、在 $(-1,0)$ 上递减（因 $a>0$），故至多两个零点，峰值在 $x=-1$ 处。

$f(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{1-a}{2}+a-a=\frac{1-3a}{6}$；$f(-2)=-\frac{8}{3}+2(1-a)+a=-\frac{2}{3}-a<0$；$f(0)=-a<0$。

恰有两个零点等价于 $f(-1)>0$ 且两端函数值为负，即 $\frac{1-3a}{6}>0$，得 $0<a<\frac{1}{3}$。

（3）$a=1$ 时 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x-1$，$f^{\prime }(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$，$f(-1)=-\frac{1}{3}$，$f(1)=-\frac{5}{3}$。

① $t\in [-3,-2]$：区间 $[t,t+3]$ 含 $-1$ 而至多触及 $1$，$f$ 先增后减，$M(t)=f(-1)=-\frac{1}{3}$；比较 $f(t)$ 与 $f(t+3)$：$f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)⩾0$，故 $m(t)=f(t)$。 于是 $g(t)=-\frac{1}{3}-f(t)=-\frac{t^3}{3}+t+\frac{2}{3}$，$g^{\prime }(t)=1-t^2<0$，在 $[-3,-2]$ 上递减，最小值为 $g(-2)=\frac{8}{3}-2+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。

② $t\in [-2,-1]$：区间同时含 $-1$ 与 $1$。$t+3\in [1,2]$，$f(t+3)⩽f(2)=-\frac{1}{3}$，故 $M(t)=-\frac{1}{3}$；$f(t)⩾f(-2)=-\frac{5}{3}=f(1)$，故 $m(t)=-\frac{5}{3}$。 于是 $g(t)=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{4}{3}$，为定值。

综上，$g(t)$ 在 $[-3,-1]$ 上的最小值为 $\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与单调性；零点存在条件；动区间上的最值

核心方法：导数因式分解定极值；条件转译为端点与极值的不等式；按极值点是否落入区间分类

避坑指南：$f(-1)=\frac{1-3a}{6}$ 的化简要细心；第（2）问恰有两个零点必须同时验证 $f(-2)<0$ 与 $f(0)<0$；第（3）问的分界点是 $t=-2$（此时 $t+3=1$），别把 $t=-1$ 当分界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数零点与动区间最值综合题，与 2013 年广东卷文第 21 题、2014 年天津卷文第 19 题同族。

结论推广：三次函数 $f^{\prime }$ 两根 $\alpha <\beta$ 时，$f$ 在 $(-\infty ,\alpha ]$ 增、$[\alpha ,\beta ]$ 减、$[\beta ,+\infty )$ 增；动区间最值以极值点是否落入区间为分类标准。

方法推广：压轴题三步：导数分解 → 条件转译为不等式 → 按临界位置分类并逐段比较端点与极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.08 恒成立问题——隐零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值
• 2015-天津卷文-20 解-切线不等式