2015-天津卷理-10 填-几何体结构

本题导读

本题考查根据三视图还原空间几何体并计算其体积。核心在于通过侧视图的圆形和正、俯视图的组合形状，识别出该几何体是由圆柱和圆锥组成的旋转体，并准确提取各部分的底面半径和高。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$），则该几何体的体积为 $\underline{}$ $m^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体结构：
   • 侧视图：是一个半径为 1 的圆，这说明该几何体是一个以 $x$ 轴（或水平向）为轴的旋转体。
   • 正视图与俯视图：中间部分是长为 2、高为 2 的矩形，两端是底为 2、高为 1 的等腰三角形。
   • 结论：该几何体由中间的一个圆柱和左右两端的两个完全相同的圆锥拼接而成。
2. 提取几何参数：
   • 圆柱部分：底面半径 $r=1$，高 $h_1=2$。
   • 圆锥部分：底面半径 $r=1$，高 $h_2=1$。
3. 应用体积公式：
   • 圆柱体积 $V_{柱}=\pi r^{2}h$
   • 圆锥体积 $V_{锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
   4. 计算总和：$V=V_{柱}+2\times V_{锥}$。

✅【答案】

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$\frac{8}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：识别结构 由三视图可知，该几何体是一个组合旋转体：

• 中间是一个圆柱，底面直径为 2（即半径 $r=1$），母线长（高）为 2。
• 两端各有一个圆锥，底面与圆柱底面重合（半径 $r=1$），高均为 1。

第二步：计算各部分体积

1. 中间圆柱的体积： $V_{柱}=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$
2. 两端圆锥的体积之和： $2\times V_{锥}=2\times \left(\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 1\right)=\frac{2}{3}\pi$

第三步：计算总体积 $V=2\pi +\frac{2}{3}\pi =\frac{8}{3}\pi$

答案：$\frac{8}{3}\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图的投影规律（长对正、高平齐、宽相等）；常见旋转体（圆柱、圆锥、球）的体积计算。
• 核心方法：分解组合法。将复杂的三视图拆解为熟悉的基本几何体是解题的关键。
• 避坑指南：
  1. 不要漏掉圆锥体积公式中的 $\frac{1}{3}$。
  2. 注意侧视图给出的半径是 1，对应正视图中三角形的“高”的一半，要看清尺寸标注。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若该几何体改为“内挖去”两个圆锥，则体积变为 $V_{柱}-2V_{锥}$。

• 相关知识点：球的体积与表面积、棱柱棱锥的体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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