2015-天津卷理-11 填-定积分

本题导读

本题考查利用定积分计算平面图形的面积。核心在于通过联立方程确定积分的上下限，并利用“上曲线减下曲线”的原则建立定积分表达式，最后通过原函数进行求解。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 所围成的封闭图形的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定积分边界：联立曲线与直线的方程，求出交点。交点的横坐标即为定积分的上限和下限。
2. 判定函数高低：在积分区间内比较 $x^2$ 与 $x$ 的大小，确定哪个函数在上方。通常通过作图或取特殊点验证。
3. 列出积分式：封闭图形面积 $S={\int }_a^b[f_{上}(x)-f_{下}(x)]dx$。
4. 运用微积分基本定理：求出被积函数的原函数，代入上下限进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求交点 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x\end{array}$ 得 $x^2=x⟹x(x-1)=0$。 解得 $x_1=0,x_2=1$。 故积分区间为 $[0,1]$。

第二步：分析相对位置 当 $x\in (0,1)$ 时，易知 $x>x^2$（例如取 $x=0.5,x^2=0.25$）。 所以，直线 $y=x$ 位于曲线 $y=x^2$ 的上方。

第三步：计算面积 根据定积分的几何意义，面积为： $S={\int }_0^1(x-x^2)dx$ 求原函数： $S={\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1$ 代入上下限： $S=\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)-(0-0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

答案：$\frac{1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：利用定积分求面积的三个步骤——找交点、列积分、算原函数。
• 核心技巧：数形结合。画出草图可以直观地判断积分上下限以及被积函数的正负顺序，避免计算出负面积。
• 避坑指南：
  1. 积分上限必须大于下限。
  2. 被积函数必须是“上减下”，如果写反了，结果会多一个负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若计算多段封闭图形，需分段积分并取绝对值之和。

• 相关知识点：定积分的物理意义（变力做功、路程计算）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

$16$

类题演练(Links)

• 2023-天津卷-20 解-导数综合
• 2025-天津卷-14 填-线性表示与数量积
• 2025-天津卷-20 解-导数综合