2015-安徽卷文-18 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列基本量的求解与裂项相消法求和。核心意图是让学生先把条件化为关于 $a_{1}, a_{4}$ 的”和与积”，再用一元二次方程的根与系数关系求出首项与公比；第二问的关键是识别出 $\frac{a _{n + 1}}{S _{n} S _{n + 1}}$ 可以拆成两个相邻分式之差。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)）已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1} + a_{4} = 9$ ， $a_{2} a_{3} = 8$ .

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{S _{n} S _{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

🔍【思路分析】

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由等比数列的性质 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{4}$ ，把题设化为 $a_{1} + a_{4} = 9$ 且 $a_{1} a_{4} = 8$ ，从而把 $a_{1}, a_{4}$ 看成方程 $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ 的两根。

解出两根后，用”数列递增”确定 $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ，再由 $a_{4} = a_{1} q^{3}$ 求公比 $q$ 。

第二问先写出 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，再把 $b_{n}$ 裂项成 $\frac{1}{2 ^{n} - 1} - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1}$ 的形式，求和时相邻项一一相消。

✅【答案】

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(1) $a_{n} = 2^{n - 1}$ (2) $T_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 ${a_{n}}$ 是等比数列，所以 $a_{1} a_{4} = a_{2} a_{3} = 8.$ 又 $a_{1} + a_{4} = 9$ ，故 $a_{1}, a_{4}$ 是方程 $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ 的两根，解得 $t = 1$ 或 $t = 8$ 。因为数列 ${a_{n}}$ 递增，所以 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 8$ 。设公比为 $q$ ，则 $a_{4} = a_{1} q^{3}$ ，即 $q^{3} = 8$ ，解得 $q = 2$ 。所以 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1} = 2^{n - 1} .$

(2) 由 (1) 知 $a_{n} = 2^{n - 1}$ ，所以 $S_{n} = \frac{1 \times ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n} - 1.$ 于是 $b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{S _{n} S _{n + 1}} = \frac{2 ^{n}}{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n + 1} - 1 )} .$ 注意到 $(2^{n + 1} - 1) - (2^{n} - 1) = 2^{n},$ 所以 $b_{n} = \frac{( 2 ^{n + 1} - 1 ) - ( 2 ^{n} - 1 )}{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n + 1} - 1 )} = \frac{1}{2 ^{n} - 1} - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1} .$ 因此 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = (\frac{1}{2 ^{1} - 1} - \frac{1}{2 ^{2} - 1}) + (\frac{1}{2 ^{2} - 1} - \frac{1}{2 ^{3} - 1}) + \dots + (\frac{1}{2 ^{n} - 1} - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1}) .$ 中间各对互为相反数的项两两相消，只剩首尾两项，得 $T_{n} = \frac{1}{2 ^{1} - 1} - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1} = 1 - \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1} .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项公式、等比数列的性质 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{4}$ 、裂项相消法求和。

核心方法：把两个条件凑成”和与积”后，借助一元二次方程的根与系数关系求基本量；裂项时紧盯”分母两因式之差是否恰好等于分子”。

避坑指南：一是漏看”递增”这一条件，会得到 $a_{1} = 8, a_{4} = 1$ （此时 $q = \frac{1}{2}$ ）而写出错误通项；二是裂项相消后忘记保留首项，写成 $- \frac{1}{2 ^{n + 1} - 1}$ ；三是把 $S_{n}$ 写成 $\frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 时在符号上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 由 2015 年安徽卷文科第 18 题整理，“等比数列基本量 + 裂项相消求和”的组合是数列解答题最常见的两问结构，在本卷中位于中档位置。

结论推广: 本题的裂项依据是 $(2^{n + 1} - 1) - (2^{n} - 1) = 2^{n}$ 。一般地，只要能把 $b_{n}$ 写成 $\frac{c _{n + 1} - c _{n}}{c _{n} c _{n + 1}}$ ，就有 $b_{n} = \frac{1}{c _{n}} - \frac{1}{c _{n + 1}}$ ，求和即刻化为 $T_{n} = \frac{1}{c _{1}} - \frac{1}{c _{n + 1}}$ 。

方法推广: “同时给出两项的和与积”的条件，统一用根与系数关系处理，可迁移到等差与等比混合的基本量问题，也可迁移到解三角形中”已知两边和与积求第三边”等情境。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

19.02 等比数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

2014-安徽卷文-18 解-数列求和

2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项

2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和

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2015-安徽卷文-18 解-等比数列

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