2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项

本题导读

本题考查导数的运算。核心在于求导代值译等差、分组分别求和的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_2+a_4=8$，且对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，函数 $f(x)=\left(a_n-a_{n+1}+a_{n+2}\right)x+a_{n+1}\cos x-a_{n+2}\sin x$ 满足 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若 $b_n=2\left(a_n+\frac{1}{2a_n}\right)$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}\sin x-a_{n+2}\cos x$；代 $x=\frac{\pi }{2}$：$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$ → 等差。
2. $a_2+a_4=2a_3=8$ → $a_3=4$；$a_1=2$ → $d=1$ → $a_n=n+1$。
3. $b_n=2a_n+\frac{1}{a_n}=2(n+1)+\frac{1}{n+1}$。
4. $S_n=2\cdot \frac{n(3+n)}{2}+\sum _{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}=n(n+3)+\sum _{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$。

✅【答案】

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(1)$a_n=n+1$ (2)$S_n=n(n+3)+\sum _{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}\sin x-a_{n+2}\cos x.$ 代入 $x=\frac{\pi }{2}$（$\sin \frac{\pi }{2}=1$，$\cos \frac{\pi }{2}=0$）： $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0,$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 成立，故 $\{a_n\}$ 为等差数列。 由 $a_2+a_4=2a_3=8$ 得 $a_3=4$；又 $a_1=2$，故公差 $d=\frac{a_3-a_1}{2}=1$， $a_n=a_1+(n-1)d=n+1.$ （2） $b_n=2\left(a_n+\frac{1}{2a_n}\right)=2a_n+\frac{1}{a_n}=2(n+1)+\frac{1}{n+1}.$ 于是 $S_n={\sum }_{k=1}^n\left[2(k+1)+\frac{1}{k+1}\right]=2\left[\frac{n(3+n)}{2}\right]+{\sum }_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}=n(n+3)+{\sum }_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}.$ （等差部分：$2{\sum }_{k=1}^n(k+1)=2\left[\frac{n(n+1)}{2}+n\right]=n(n+3)$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推条件（导数为零）与分组求和

核心方法：$f^{\prime }(x)=a_n-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}\sin x-a_{n+2}\cos x$，$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$ → 等差 → $a_n=n+1$；(2) $b_n=2(n+1)+\frac{1}{n+1}$，$S_n=n(n+3)+\sum _{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$

避坑指南：求导后代 $x=\frac{\pi }{2}$：$\sin \frac{\pi }{2}=1$、$\cos \frac{\pi }{2}=0$，一次项系数恰好给出等差定义式 $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$——对任意 $n$ 成立是关键；(2) 分组：等差部分 $2\sum (n+1)=n(n+3)$，倒数部分别并成 ${\sum }_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$，不能”求出闭式”就硬写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数运算与等差数列的证明、分组求和（安徽卷数列解答题）。

结论推广：多项式与三角和的求导；等差数列定义 $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$；分组求和。

方法推广：求导代值 → 译出等差 → 通项；$b_n$ 拆成等差 + 倒数两段分别求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减