2015-安徽卷理-18 解-导数几何意义

本题导读

本题是导数与数列结合的综合题。第一问通过导数的几何意义确定切线方程，进而求出数列的通项；第二问考查数列不等式的证明，难点在于利用放缩法将复杂的积项转化为可以约分的结构，是典型的高考数列压轴风格。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$x_n$ 是曲线 $y=x^{2n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $T_n=x_1^2{x}_3^2\cdots x_{2n-1}^2$，证明：$T_n\ge \frac{1}{4n}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求通项）：
   • 求导得到切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}$。
   • 写出点斜式切线方程。
   • 令 $y=0$ 求出横截距 $x_n$。
2. 第二问（不等式证明）：
   • 代入通项：写出 $T_n$ 的乘积表达式，观察通项 $x_{2k-1}^2=(\frac{2k-1}{2k}{)}^2$。
   • 寻找放缩目标：直接计算 $T_n$ 较难，需观察其与 $\frac{1}{4n}$ 的关系。
   • 放缩技巧：利用分式性质，将 $x_{2k-1}^2$ 适当放大或缩小。 本题关键放缩式：$(\frac{2k-1}{2k}{)}^2>\frac{(2k-1{)}^2-1}{(2k{)}^2}=\frac{(2k-2)\cdot 2k}{(2k{)}^2}=\frac{k-1}{k}$。
   • 裂项相消：利用放缩后的结果进行累乘，观察中间项的抵消情况。

✅【答案】

点击查看答案

综上所述，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，均有 $T_n\ge \frac{1}{4n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式 对 $y=x^{2n+2}+1$ 求导得：$y^{\prime }=(2n+2)x^{2n+1}$。 所以曲线在点 $(1,2)$ 处的切线斜率为 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=2n+2$。 切线方程为：$y-2=(2n+2)(x-1)$。 令 $y=0$，得 $-2=(2n+2)(x-1)$， 即 $x-1=-\frac{2}{2n+2}=-\frac{1}{n+1}$。 解得 $x_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。 故数列 $\{x_n\}$ 的通项公式为 $x_n=\frac{n}{n+1}$。

---

(2) 证明：$T_n\ge \frac{1}{4n}$ 由（Ⅰ）知 $x_k^2=(\frac{k}{k+1}{)}^2$，则： $T_n=x_1^2{x}_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\frac{1}{2}{)}^2\cdot (\frac{3}{4}{)}^2\cdot (\frac{5}{6}{)}^2\cdots (\frac{2n-1}{2n}{)}^2$。

当 $n=1$ 时： $T_1=x_1^2=(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$。 而 $\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}$，此时 $T_1=\frac{1}{4}$，不等式成立。

当 $n\ge 2$ 时： 考虑通项 $x_{2k-1}^2=(\frac{2k-1}{2k}{)}^2$。 因为 $(2k-1{)}^2>(2k-1{)}^2-1=(2k-2)(2k)$， 所以 $x_{2k-1}^2=\frac{(2k-1{)}^2}{(2k{)}^2}>\frac{(2k-2)(2k)}{(2k{)}^2}=\frac{2k-2}{2k}=\frac{k-1}{k}$。 由此进行累乘放缩（注意第一项 $x_1^2$ 保持 $\frac{1}{4}$ 不动以匹配系数）： $T_n=(\frac{1}{2}{)}^2\cdot x_3^2\cdot x_5^2\cdots x_{2n-1}^2$ $T_n>\frac{1}{4}\cdot (\frac{2-1}{2})\cdot (\frac{3-1}{3})\cdots (\frac{n-1}{n})$（此处放缩略有调整，详见下方更精准裂项）

更精准的放缩步骤： 对于 $k\ge 2$ 的项：$x_{2k-1}^2=\frac{(2k-1{)}^2}{4k^2}>\frac{(2k-1{)}^2-1}{4k^2}=\frac{4k^2-4k}{4k^2}=\frac{k-1}{k}$。 则： $T_n=\frac{1}{4}\cdot {\prod }_{k=2}^n{x}_{2k-1}^2$ $T_n>\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{n-1}{n})$ $T_n>\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{4n}$。

综上所述，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，均有 $T_n\ge \frac{1}{4n}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 放缩的核心目标：在证明 $A\ge B$ 时，如果 $A$ 是累乘形式，通常寻找 $a_k\ge \frac{b_{k-1}}{b_k}$ 形式的放缩，利用链式约分化简。
2. 首项处理：在放缩法中，往往需要保留前一两项不参与放缩，或者单独处理 $n=1$ 的情况，以保证放缩后的常数系数与目标一致。
3. 避坑指南：切线方程计算中，$x_n$ 是切线与 $x$ 轴的交点，不是切点。注意不要把 $x$ 轴交点横坐标误认为是 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 此类连乘积不等式也可以尝试使用数学归纳法证明。
• 变式思考: 若要求证明 $T_n<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（Wallis公式相关变体），则需要更精细的放缩，如 $(\frac{2k-1}{2k}{)}^2<\frac{2k-1}{2k+1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

$xn=nn+1；Tn⩾1$

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-14
• 2014-安徽卷理-12 填-等差数列通项
• 2014-安徽卷理-21 解-伯努利不等式