2015-安徽卷理-20 解-椭圆离心率

本题导读

本题是 2015 年安徽理科卷的压轴大题。第一问通过线段比例关系确定分点坐标，结合斜率公式建立 $a,b$ 关系求离心率；第二问涉及中点坐标及点关于直线的对称，考查复杂的代数运算与几何位置关系的转化。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $|BM|=2|MA|$，直线 $OM$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

(1) 求 $E$ 的离心率 $e$；

(2) 设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$，求 $E$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（离心率）：
   • 根据定比分点公式，由 $|BM|=2|MA|$ 求出 $M$ 点坐标（含 $a,b$）。
   • 利用 $k_{OM}=\frac{y_M}{x_M}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ 建立 $a,b$ 的等量关系。
   • 转化出 $c,a$ 的关系求 $e$。
2. 第二问（椭圆方程）：
   • 求点 $N$：利用中点公式求出 $N(\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$。
   • 对称点转换：设对称点为 $S(x_1,\frac{7}{2})$。利用对称性质：
     • ① 线段 $NS$ 的中点 $T$ 在直线 $AB$ 上；
     • ② 直线 $NS\perp$ 直线 $AB$（斜率乘积为 -1）。
   • 联立求解：将第一问中的 $a=\sqrt{5}b$ 代入对称方程组，解出 $b$，进而得到椭圆方程。

✅【答案】

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故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{9}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $E$ 的离心率 $e$ 因为 $A(a,0),B(0,b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上且 $|BM|=2|MA|$， 由分点坐标公式得 $M$ 的坐标为： $x_M=\frac{0+2a}{1+2}=\frac{2}{3}a,y_M=\frac{b+2(0)}{1+2}=\frac{1}{3}b$。 则直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}=\frac{y_M}{x_M}=\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$， 化简得 $a=\sqrt{5}b$。 则 $c^2=a^2-b^2=5b^2-b^2=4b^2$，即 $c=2b$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{\sqrt{5}b}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

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(2) 求 $E$ 的方程 由（Ⅰ）知 $a=\sqrt{5}b$。直线 $AB$ 的方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即 $x+\sqrt{5}y-\sqrt{5}b=0$。 点 $C(0,-b),A(a,0)$，则线段 $AC$ 的中点 $N$ 坐标为 $(\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$，即 $(\frac{\sqrt{5}b}{2},-\frac{b}{2})$。 设点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $S(x_1,\frac{7}{2})$，线段 $NS$ 的中点为 $T$。 $T$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{5}b/2+x_1}{2},\frac{-b/2+7/2}{2})$。 由对称性得方程组： $\{\begin{array}{ll}\frac{\frac{\sqrt{5}b}{2}+x_1}{2}+\sqrt{5}\cdot \frac{\frac{7-b}{2}}{2}-\sqrt{5}b=0& \text{（中点在直线上）}\\ \frac{\frac{7}{2}-(-\frac{b}{2})}{x_1-\frac{\sqrt{5}b}{2}}\cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})=-1⟹\frac{7+b}{2(x_1-\frac{\sqrt{5}b}{2})}=\sqrt{5}& \text{（斜率垂直）}\end{array}$ 解该方程组（将 $x_1$ 表达后代入第一式）： 由第二式得 $x_1=\frac{7+b}{2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}b}{2}$。 代入第一式并化简：$\frac{\sqrt{5}b}{2}+\frac{7+b}{2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}b}{2}+\frac{7\sqrt{5}-\sqrt{5}b}{2}-2\sqrt{5}b=0$ 整理得 $b=3$。 则 $a=3\sqrt{5},a^2=45,b^2=9$。 故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{9}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 解析几何中的“整体思想”：第一问求出 $a,b$ 的比例关系后，不要急于解出具体数值，而是带着比例进入第二问，可以显著减少未知数个数。
2. 对称问题的标准解法：中点在直线上 + 连线与直线垂直，这是处理点关于直线对称的黄金法则。
3. 避坑指南：计算量较大，特别是含根号的代数式化简，建议在草稿纸上分步计算，确保分子分母符号无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第二问也可以使用点到直线距离公式。点 $N$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 等于对称点 $S$ 到直线 $AB$ 的距离，且 $N,S$ 在直线异侧，配合纵坐标 $\frac{7}{2}$ 建立方程。
• 变式思考: 若点 $M$ 是 $AB$ 的中点，椭圆的离心率会变为多少？ (提示：此时 $a=b$，椭圆退化为圆，但在 $a>b$ 条件下不成立，需注意参数限制。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练(Links)

• 2012-安徽卷理-20
• 2014-安徽卷理-20 解-空间向量及其运算
• 2014-安徽卷理-14 填-椭圆方程与性质