2015-山东卷文-09 单-旋转体体积

本题导读

等腰直角三角形绕斜边旋转一周，得到两个同底的圆锥拼合体。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ()

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{2}\pi }{3}$　　　　　　C. $2\sqrt{2}\pi$　　　　　　D. $4\sqrt{2}\pi$

🔍【思路分析】

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等腰直角三角形绕斜边旋转一周，得到两个同底的圆锥拼合体。底面半径 = 斜边上的中线，用斜边中线定理即得。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

直角边为 2 的等腰直角三角形，斜边长 $2\sqrt{2}$。

直角顶点到斜边的距离（即斜边上的中线）$r=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$——这就是旋转体的底面半径。

旋转体由两个同底圆锥拼成，每个圆锥的高 $h=\sqrt{2}$（斜边的一半），故

$V=2\times \frac{1}{3}\pi r^{2}h=2\times \frac{1}{3}\pi \times 2\times \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的形成与体积；斜边中线定理

核心方法：旋转体拆成两个同底圆锥，半径取”旋转半径”

避坑指南：半径不是直角边 2，而是”直角顶点到旋转轴的距离” $\sqrt{2}$；两个圆锥高各为 $\sqrt{2}$（斜边一半），别误用整条斜边当高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面图形绕轴旋转成体，是立体几何”旋转体”主题的经典模型，2015 年山东卷用等腰直角三角形给出最简版本。

结论推广：一般直角三角形绕斜边旋转：$V=\frac{\pi c{h}_c^2}{3}$ 依然拆成两个圆锥，其中 $h_c$ 为斜边上的高；若绕直角边旋转则得单个圆锥。

方法推广：“找旋转半径 + 拆基本旋转体”是处理一切旋转体体积的通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

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• 2016-山东卷理-05
• 2015-山东卷理-13 填-程序框图