2013-湖北卷文-16 填-圆台测雨

本题导读

本题考查旋转体的体积，以及数学文化。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 我国古代数学名著《数书九章》中有”天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 $\underline{}$ 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 水面半径 $r=6+\frac{14-6}{18}\times 9=10$ 寸。
2. $V_{水}=\frac{\pi }{3}\times 9\times (100+60+36)=588\pi$ 立方寸。
3. 盆口面积 $=14^2\pi =196\pi$ → 降雨量 $=\frac{588\pi }{196\pi }=3$ 寸。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

盆口半径 $14$ 寸，盆底半径 $6$ 寸，盆深 $18$ 寸；积水深 $9$ 寸（恰为盆深的一半）。 由轴截面相似（半径随深度线性变化），水面半径 $r=6+\frac{14-6}{18}\times 9=6+4=10(寸).$ 圆台形积水的体积 $V=\frac{\pi }{3}\times 9\times \left(10^2+10\times 6+6^2\right)=\frac{\pi }{3}\times 9\times 196=588\pi (立方寸).$ 盆口面积为 $\pi \times 14^2=196\pi$ 平方寸，由注①，平地降雨量 $\frac{588\pi }{196\pi }=3(寸).$ 故答案为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台的体积与实际应用（天池盆测雨）

核心方法：水深 $9$ 寸处水面半径 $r=6+\frac{14-6}{18}\times 9=10$；$V_{水}=\frac{\pi }{3}\cdot 9\cdot (10^2+10\cdot 6+6^2)=588\pi$；降雨量 $=\frac{588\pi }{196\pi }=3$ 寸

避坑指南：圆台体积公式 V=\dfrac\pi3h(r^{2}+rr\'+r\'^{2}) 三项一个不能少；水面半径按深度比例线性插值（$9$ 寸是盆深 $18$ 寸的一半 → 半径是 $6$ 与 $14$ 的中点 $10$）；降雨量除以的是盆口面积（$14^2\pi$），别用水面面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆台的体积（数学古文化应用题，湖北卷填空题）。

结论推广：轴截面相似定水面半径；圆台体积公式；除以盆口面积。

方法推广：定水面半径 → 算积水体积 → 除以盆口面积得降雨量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-03 单-旋转体
• 2014-陕西卷文-05 单-旋转体侧面积
• 2015-山东卷文-09 单-旋转体体积