2013-上海卷理-13 填-旋转体体积

本题导读

本题考查几何体的体积，以及旋转体体积。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 在 $xOy$ 平面上，将两个半圆弧 $(x-1{)}^2+y^2=1(x\ge 1)$ 和 $(x-3{)}^2+y^2=1(x\ge 3)$、两条直线 $y=1$ 和 $y=-1$ 围成的封闭图形记为 $D$，如图中阴影部分.记 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的几何体为 $\Omega$，过 $(0,y)(|y|\le 1)$ 作 $\Omega$ 的水平截面，所得截面面积为 $4\pi \sqrt{1-y^2}+8\pi$.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 $\Omega$ 的体积值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解祖暅原理：
   • 祖暅原理（Cavalieri’s Principle）指出：“幂势既同，则积不容异”。即如果两个几何体在等高处的截面积始终相等，那么它们的体积一定相等。
2. 拆分截面积公式：
   • 已知水平截面积 $S(y)=4\pi \sqrt{1-y^2}+8\pi$。
   • 我们需要将 $S(y)$ 拆分为两部分，分别对应“平放的圆柱”和“长方体”的截面积。
3. 构造几何体 A（长方体）：
   • 设长方体的高为 $2$（对应 $y$ 从 $-1$ 到 $1$）。
   • 若其截面积为恒值 $8\pi$，则其体积 $V_1=8\pi \times 2=16\pi$。
4. 构造几何体 B（平放的圆柱）：
   • 剩下的截面积部分为 $S_2(y)=4\pi \sqrt{1-y^2}=2\pi \cdot (2\sqrt{1-y^2})$。
   • 观察圆柱水平平放时的截面：一个半径为 $R=1$、高为 $h$ 的圆柱横放，其在高度 $y$ 处的截面是一个矩形。
   • 矩形的宽为弦长 $2\sqrt{R^2-y^2}=2\sqrt{1-y^2}$，长为圆柱的高 $h$。
   • 对比发现，若 $h=2\pi$，则其截面积正好为 $2\pi \cdot 2\sqrt{1-y^2}=4\pi \sqrt{1-y^2}$。
5. 计算总体积：
   • 根据祖暅原理，$\Omega$ 的体积等于构造出的两个几何体体积之和。

✅【答案】

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$2{\pi }^2+16\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析截面积公式 设几何体 $\Omega$ 的水平截面面积为 $S(y)=S_1(y)+S_2(y)$，其中：

• $S_1(y)=8\pi$
• $S_2(y)=4\pi \sqrt{1-y^2}$

第二步：构造对应的标准几何体

1. 对于 $S_1(y)=8\pi$： 这是一个截面积不随高度 $y$ 变化的几何体。题目提示为一个长方体。 因为 $y\in [-1,1]$，故长方体的高 $H=1-(-1)=2$。 其底面积为 $8\pi$。 体积 $V_{\text{长方体}}=8\pi \times 2=16\pi$。

2. 对于 $S_2(y)=4\pi \sqrt{1-y^2}$： 题目提示为一个“平放的圆柱”。 设圆柱半径为 $r$，高为 $h$。当圆柱轴线平行于截面平放时，高度 $y$ 处的截面是矩形。 矩形面积 $S=\text{宽}\times \text{长}=2\sqrt{r^2-y^2}\times h$。 对比 $S_2(y)=2\pi \cdot 2\sqrt{1-y^2}$，可知 $r=1$，$h=2\pi$。 体积 $V_{\text{圆柱}}=(\pi r^2)\times h=(\pi \cdot 1^2)\times 2\pi =2{\pi }^2$。

第三步：计算总体积 根据祖暅原理，几何体 $\Omega$ 的体积为： $V_{\Omega }=V_{\text{圆柱}}+V_{\text{长方体}}=2{\pi }^2+16\pi$

故填入答案为：$2{\pi }^2+16\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：祖暅原理的逆向应用——通过解析截面积公式来反向构造已知几何体。

核心方法：“结构拆分法”。本题难点在于联想到平放圆柱的截面形状。

避坑指南：- 注意高度范围：$y\in [-1,1]$ 意味着几何体总高度为 $2$。 - 区分圆柱“立放”与“平放”的截面区别：立放截面是圆（面积恒定），平放截面是矩形（面积随高度呈根号规律变化）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定积分求体积 $V={\int }_a^{b}S(y)dy$。 本题若使用积分：${\int }_{-1}^1(4\pi \sqrt{1-y^2}+8\pi )dy=4\pi {\int }_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy+16\pi =4\pi \cdot (\frac{\pi }{2})+16\pi =2{\pi }^2+16\pi$。（其中积分部分代表半圆面…

结论推广：球体体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 在古代中国就是利用祖暅原理，通过对比“牟合方盖”与内切圆柱的截面积推导出来的。

方法推广：对于无法直接通过旋转体公式计算的复杂体积，若给出截面积函数，积分法是通用手段，但构造法更能体现数学直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-09 单-旋转体体积
• 2014-陕西卷文-05 单-旋转体侧面积
• 2014-福建卷文-03 单-旋转体