2015-山东卷文-21 解-椭圆综合

本题导读

(1) 离心率给 $a^2=4b^2$，代入点定方程。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点 $\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上．

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 设椭圆 $E:\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{4b^2}=1$，$P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y=kx+m$ 交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$．

（i）求 $\frac{|OQ|}{|OP|}$ 的值；

（ii）求 $△ABQ$ 面积的最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 离心率给 $a^2=4b^2$，代入点定方程。（Ⅱ）① 设 $Q=tP$ 代入 $E$ 的方程与 $C$ 的方程联立；② 弦长 $|AB|$ 与 $Q$ 到直线的距离都化成 $k,m$，用”直线与 $C$ 有公共点”约束放缩。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2) （i）$2$；（ii）$6\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） 由 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，故 $a^2=4b^2$。

代入点 $\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$：$\frac{3}{4b^2}+\frac{\frac{1}{4}}{b^2}=1$，得 $b^2=1$，$a^2=4$。

所以椭圆 $C$：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

（Ⅱ）（i） 椭圆 $E$：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。设 $P(x,y)$，$Q=tP=(tx,ty)$。

由 $P\in C$ 得 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，即 $x^2+4y^2=4$。

由 $Q\in E$：$\frac{t^2{x}^2}{16}+\frac{t^2{y}^2}{4}=1$，即 $t^2\cdot \frac{x^2+4y^2}{16}=1$，代入 $x^2+4y^2=4$ 得 $t^2=4$。

因 $Q$ 在射线 $PO$（从 $P$ 指向 $O$ 的方向）上，$t=-2$，故 $\frac{|OQ|}{|OP|}=2$。

（ii） 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。直线 $y=kx+m$ 代入 $E$（$x^2+4y^2=16$）：

$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-16=0$。

由韦达定理，$x_1+x_2=\frac{-8km}{1+4k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{4m^2-16}{1+4k^2}$，

$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{4\sqrt{4+16k^2-m^2}}{1+4k^2}$。

由（i）$Q=-2P$，而 $P$ 在直线 $y=kx+m$ 上（$k{x}_P-y_P+m=0$），故 $Q$ 到直线的距离

$d=\frac{|k(-2x_P)+2y_P+m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|2(k{x}_P-y_P)+m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{3|m|}{\sqrt{1+k^2}}$。

于是 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{6|m|\sqrt{4+16k^2-m^2}}{1+4k^2}$。

直线与椭圆 $C$ 有公共点：$m^2⩽4k^2+1$。记 $u=1+4k^2(⩾1)$，则

$S^2=\frac{36m^2(4u-m^2)}{u^2}⩽\frac{36\cdot u\cdot 3u}{u^2}=108$（因 $0<m^2⩽u$ 时 $m^2(4u-m^2)$ 递增，最大值 $3u^2$ 在 $m^2=u$ 处取得），

故 $S⩽6\sqrt{3}$，当且仅当直线 $y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 相切（此时 $P$ 为切点）时取等号。

例如 $k=0$，$m=1$：直线 $y=1$ 切 $C$ 于 $P(0,1)$，$Q=(0,-2)$，$A,B=(\pm 2\sqrt{3},1)$，$S=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times 3=6\sqrt{3}$，验证成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆相交的弦长；点到直线的距离与面积最值

核心方法：待定系数 + 位似关系（$Q=-2P$）+ 韦达定理弦长公式 + 判别式约束下的放缩

避坑指南：（1）射线 $PO$ 的方向是从 $P$ 指向 $O$，$Q$ 在 $O$ 的另一侧，$Q=-2P$ 而非 $2P$——方向错了面积会差 9 倍；（2）$d=\frac{3|m|}{\sqrt{1+k^2}}$ 的”3”来自 $|-2+1|$，很多解析在这里算成 $|m|$；（3）放缩时 $m^2⩽u$ 保证 $m^2(4u-m^2)⩽3u^2$，若忽略此约束用均值不等式会得出错误上界 12。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“同心椭圆位似”是 2015 年山东卷文理同源压轴（理科同题）：小椭圆上的点与大椭圆的弦共舞，$|OQ|:|OP|=2:1$ 的位似关系是全题的枢纽。

结论推广：位似结论可推广：若 $E$ 与 $C$ 的方程系数比为 ${\lambda }^2$（$E:\frac{x^2}{{\lambda }^2{a}^2}+\frac{y^2}{{\lambda }^2{b}^2}=1$），则 $\frac{|OQ|}{|OP|}=\lambda$，且 $S_{△ABQ}$ 的最大值为 $\frac{\lambda (\lambda +1)}{2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{1+4k^2}$ 型结构——本题 $\lambda =2$ 给出 $6\sqrt{3}$。

方法推广：解析几何面积最值的通用流水线：“联立—韦达—弦长—距离—表达 $S(k,m)$—找约束—放缩”。其中约束往往藏在”直线与内侧曲线有公共点”的判别式里。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-21 解-导数综合
• 2016-山东卷理-21
• 2014-山东卷理-21 解-抛物线定义与性质