2015-山东卷理-06 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中含参数目标函数的最值问题，重点检验画可行域以及利用直线斜率对参数 $a$ 进行讨论和分析的能力。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 已知 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+y\le 2\\ y\ge 0\end{array}$，若 $z=ax+y$ 的最大值为 $4$，则 $a=$ ()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

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1. 画出不等式组表示的可行域，求出可行域的三个顶点坐标。
2. 将目标函数变形为 $y=-ax+z$，其几何意义为直线在 $y$ 轴上的截距 $z$。
3. 结合参数 $a$（斜率为 $-a$）对最值点取值的可能性进行讨论，代入顶点坐标解得 $a$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

画出约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+y\le 2\\ y\ge 0\end{array}$ 表示的可行域，其为以三个交点组成的三角形区域： 原点 $O(0,0)$； 直线 $x-y=0$ 与 $x+y=2$ 的交点 $A(1,1)$； 直线 $x+y=2$ 与 $y=0$ 的交点 $B(2,0)$。

变形目标函数得 $y=-ax+z$，截距为 $z$。

① 若 $a>0$，直线斜率 $-a<0$。当直线经过点 $B(2,0)$ 时，$z$ 取得最大值。 此时 $z_{\max }=2a+0=4⟹a=2$。 （验证：当 $a=2$ 时，$z=2x+y$，在点 $O(0,0)$ 处 $z=0$，在点 $A(1,1)$ 处 $z=3$，在点 $B(2,0)$ 处 $z=4$，符合最大值为 $4$ 的条件）

② 若 $a\le 0$，当直线经过点 $A(1,1)$ 时取得最大值： $z_{\max }=a(1)+1=4⟹a=3$，与 $a\le 0$ 矛盾，舍去。

综上，$a=2$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的画法、目标函数几何意义（截距型）、含参线性规划。
2. 核心方法：数形结合法，代入顶点验证法。
3. 避坑指南：目标函数变形为截距式 $y=-ax+z$ 时，注意斜率为 $-a$；当最大值落在顶点时，可先直接将各顶点坐标代入检验，快速排除不合题意的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于新课标高考对线性规划的传统考查，通过在目标函数中引入参数，提高对数形结合能力与逻辑严密性的要求。
2. 结论推广：对于封闭的多边形可行域，线性目标函数 $z=ax+by$ 的最大值或最小值必定在多边形的顶点或边界线上取得。若为含参目标函数，可通过边界线的斜率临界值对参数进行分段讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2014-山东卷理-09 单-简单的线性规划问题
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